二维高阶非线性量子体系涡旋态的研究
毕业论文关键词：非线性薛定谔方程，孤子，量子化涡旋态, 玻色爱因斯坦凝聚Abstract Nonlinear Schrodinger equation (NLSE) is a kind of important equation of thenonlinear evolution of quantum system, and it has very important applications inmany fields. Therefore, it is of great significance to study the model of this kind. BoseEinstein condensates, Bose Einstein condensation (BEC) is master of science Einsteinin 80 years ago predicted as a new state of matter. Here, "cohesion" and theaggregation is different, it indicates that the original state of the atoms suddenly"condensed" to the same state (generally ground state). The atoms in different states"condense" to the same state. In some simple cases, the state of condensed particlescan be described by a nonlinear Schrodinger equation, also known as theGross-Pitaevskii or Ginzburg-Landau equation. Like many other systems, the vortexcan exist in BEC. Using variational method to get the vortex soliton solutions of twodimensional ultracold quantum system, the dynamical evolution of the soliton iscalculated, and the stability of the soliton under the model is studied.
Keywords: nonlinear Schrodinger equation, soliton, quantum vortex, BoseEinstein condensation
目录
第一章 绪论. 1
1.1 背景介绍 1
1.2 研究现状6
1.3 本文主要内容.6
第二章解决方法. 7
第三章 结果与讨论. 12
致谢.13
参考文献.14
第一章 绪论1.1 背景介绍（1）涡旋涡旋（Vortex）也称旋涡。是指一种半径非常小的圆柱在静止流体中旋转导致周围流体做圆周运动的流动现象。一般的旋涡内部有一涡量的密集区域，称涡核，其运动类似于刚体旋转。我们日常生活中涡旋现象就有很多，排水时候形成的水涡，飞机的尾翼产生的涡流，烟鬼们吞云吐雾时常常出现的烟圈，以及湍流等等....这些都是我们宏观上常常能看到的各种涡旋。经典流体：一般宏观流体满足经典流体力学规律涡度 ：Ω=1/2 rot v涡旋的直观描述：涡旋的大小（原子尺度）；涡旋的形状（曲线，边界）；涡旋的能量（散射）；涡旋的稳定性（单根；多根六角形排布）；涡旋的运动（多重运动模式：力）；涡旋的动力学（生成和湮灭）；涡旋的动力学方面可大致分为四种类型：a.拓扑作用：系统拓扑缺陷，涡旋在超导和超流系统里边都受到横向的Magnus 力作用，这个力可以与经典流体的Magnus 力进行类比。和经典不同的是，它的量子化归功于宏观波函数的几何相位，在这个问题上Thouless 与苏联一些学者形成了鲜明对立的两个派别，但其存在性却是毋庸置疑的，此处无需赘述；b.径向相互作用超导体：自由能的最低原理要求两个相同量子数的涡旋相互排斥，由于磁场交叠的能量渗透已经超出波函数交叠带来的能量减少。虽然在Type I 超导体里面这种相互作用是吸引的，但在那里其实根本就不倾向于涡旋的形成，所以我们不怎么讨论其相互作用源[自-优尔^`论/文'网·www.youerw.com 。另外，因为磁场的方向不随空间变化，所以只有量子数相同的涡旋是不会自发出现涡旋-反涡旋对，这也是与超流体很不相同的地方；超流体：由G-P 理论的有效Lagrange 运动方程告知我们，量子涡旋同性排斥异性吸引，前者看似能够与超导体类比其实不然。因为超流体里边没有磁场，所以不存在真实磁相互作用， 这种排斥不是源于磁场的能量而是对氦原子的动能最低的要求。相应地，系统能产生涡旋-反涡旋对，由于他们量子数相异而产生吸引，这正如库仑相互作用那样。Volovik等人将这种相互作用映射到二维的 QED上，由声子代替光子；c.统计相互作用（A-B作用 VS 非对角 Berry相效应）：严格说来这是另一种拓扑相互作用。但有趣的是，它与流体是否可压缩直接相关。在分数量子霍尔量子流体里，准空穴和准电子可以被看作带电的涡旋，它们除Magnus和库仑相互作用外， 还有另外一种非局域的类似于Aharonov-Bohm效应的“作用”。加引号是由于它不会给涡旋带来直接的力的效果，就像在A-B效应里边电子感觉不到磁场一样； 但它的规范势却能给涡旋带来一个不可积的几何相位，假如我们把一个涡旋绕另一个涡旋转一周的话。那么这个相位与绕转具体路径无关，是一个拓扑效应，在物理上的效果是涡旋的统计变成了分数统计，它既不是Bosen 又不是Fermion，而是介于两者之间的任意子（Anyon）。