2。1 费马原理

光的直线传播定律最基本的证明方法是费马原理，它是由法国物理学家费马在 1650 年提 出的：光从空间一点 A  到另一点 B, 光沿着所需的时间为极值的路径传播。

如图 2。1 的均匀介质中，光程等于折射率与光所经过的路程的乘积。若记 n 为折射率，s 为沿光的路径的距离，则光程即为 L=ns,图中表示了光沿不同路径传播时的光程。

图 2。1 不同路径的光程

满足极值条件   的路径有且仅有一条，那便是图中代表直线路 径的 L1。由此初步证明了光在均匀介质中沿直线传播[16]。

通过费马原理不仅可以初步证明本文所研究的课题——光在均匀介质中传播时遵从的直 线传播定律，它也能证明几何光学的其他基本定律，如反射定律和折射定律。下面我们通过 证明这两个定律来进一步了解费马原理：

首先我们来证明反射定律。

在下图 2。2 中，假设 A 点是光源，B 点是接收器，它们的坐标分别是 A（ x1 ,0, z1

）、B

（ x2    ,0, z2 ）。平面 z=0 是反射面，P（x,y,0）点是入射点（假设坐标未知）。根据勾股定理，

可以计算光线 APB 的总长度：

R1+R2=  +          （1）

根据费马原理，光程应该最小，于是对于 P 点：

本科毕业设计说明书 第 5  页



n(R1  R2 ) 0

y



n(R1  R2 ) 0

x

将 R1+R2 代入上面第（1）式，得：

 y y

n(R1 R2 ) n(

 R

 ) 0

R

y 1 2

（2）

只有 y=0 上式才会成立，因此反射发生在 y=0 平面内，即入射线、法线、反射线在同一 平面内。

将 R1+R2 代入上述第（2）式，得:

n(R R ) n( x x1   x x2 ) 0

x R1 R2

第 6  页 本科毕业设计说明书 

综合上式可得： i  i ' ，即入射角等于反射角。

其次证明折射定律。

在图 2。4 中，假设 A 为光源，B 为接收器，它们的坐标分别是 A（ x1 ,0, z1

平面 z=0 是折射面，折射面上下两种介质的折射率分别为 n 和 n' ，P（x,y,0）是光线入射到 折射面的点。

根据勾股定理得，光线 AP 和 PB 的几何长度为：



光线 APB 的光程为：

根据费马原理，光程应该最小，于是对于 P 点：

由前一个式子，得： n y

本科毕业设计说明书 第 7  页

同样，说明光线的折射也发生在 y=0 平面内，即是说入射线、法线和折射线都在同一平 面内。

为了进一步 证明， 我们设入射 角为 i 、折射角为 i'  ，从前面 的微积分可 得： 

图 2。5 光折射平面图

而同时由图 2。5 可知：

综合（1）（2）两式，有：

这个式子便是折射定律第二条：折射角的正弦与入射角的正弦之比与入射角的大小无关，仅 由两种介质的折射率决定。