之前所进行的一系列研究包含了运动方程的非线性问题[15]，并且确定了其在力反馈以及气动稳定性分析问题上的重要性。本文对于非线性问题的简单讨论有助于提高读者对于非线性问题的研究兴趣，以及前人是怎样处理非线性问题的，还有将来的发展方向是怎样的。79826

许多具有代表性的研究都将桨叶简化为带有弹簧铰的悬臂刚体结构。参考文献[16]表明惯性非线性是非常重要的，即便是挥舞以及拉伸自由度被限制住。还有一些研究表明当考虑扭转时结构上的弯扭非线性是非常重要的。挥舞拉伸非线性惯性项在参考文献[17]当中是从弹性桨叶模型上推导出来的；但是力的平衡仍然需要一个径向位移以及一个中间方程。论文网

一些文献中对于弹性弯扭旋转梁方程的处理方法是在最终得到的方程当中只保留线性部分，但是在中间推导过程当中都包含了非线性。尤其值得注意的是，在当前推导过程当中以分力分力矩建立的平衡方程是唯一的。其中当前的惯性项在一些参考文献[18]当中也是完全相同的，并且是优于简化后的结果的。本文包含了应变位移关系的更加完备的发展历程。同时本文也可以得到弹性弯扭耦合项。参考文献[19]讨论了一种在扭转方程当中得到弯扭耦合项的简化形式：那就是挥舞和拉伸运动产生的弹性扭转。当前的推导运用了一种包含弯曲方程当中对应项的更一般的形式。

参考文献[20]给出了一个相对完备的关于桨叶弯曲、拉伸、扭转的非线性方程的推导过程。其中由于桨叶弹性变形而引起的某些二阶非线性项已经被略去。但是这些项可能对悬臂桨叶的离心力产生重要影响。参考文献[21]给出了一个建立在弹性弯曲以及刚体转动悬臂桨叶系统假设上的非线性方程。大部分非线性项已经包含在内了，但是由于高阶截断的不一致导致了非自适共轭惯性，这是由于刚度矩阵质量矩阵的非对称性、陀螺阵[22]的非反对称性引起的。非线性弯曲扭转耦合项不作为结构非线性项而单独列出来，这是由于总矩是以气动力的形式推导的。

参考文献[23]给出了当前研究报告的一种更早更宽松的观点。这种更早的推导是建立在应变位移关系发展基础上的并且在最后的动力学方程当中出现了几项额外项。当前方程给出的无铰桨叶的气动稳定特性的初步结果在查考文献[24]当中已经给出。

在实际工程中，正确分析一个旋转梁的动力响应，首要的是要求出它的固有频率及相应振型，揭示其与周围媒质之间相互作用关系。可运用虚质量[25]方法研究旋转梁（例如直升机桨叶）气固耦合特性。假设结构浸人无限大的气流场中，气体表面重力影响忽略不计，气体密度均匀、粘性不起主要作用、稳态。对叶片和空气选用相同的单元进行离散，气体通过质量矩阵直接与结构耦合，推导旋转梁气固耦合系统模型，研究风机叶片因气固耦合作用频率特性发生变化及结构参数对气固耦合[26]的影响。

从旋转梁分析理论的发展来看，这经历了比较长时间的发展历程。1987年,Kane在他的论文里对柔性旋转梁进行了较为细致的理论描述,并首次提出了动力刚化项(DynamicStiffening)的概念[27]。世界各国学者对这一概念表现出了浓厚的兴趣，并进行了持续的研究。由于模型的复杂性，这不便于对其进行控制设计。1990年,BellezzaF等人[28]对Kane的模型进行了必要的化简处理，省略了不必要的模型设计大大提高了理论设计的可行性,并首次将旋转梁的线性动力学方程推导了出来,给出了动力学系统频率和振型的解析表达式,从而为模态法的控制建模带来了极大的便利。此后,WangFY、GuanG等对多种条件下的细长柔性梁的数学建模及其解析解[29]进行了研究;HuangS等研究了柔性旋转梁的运动学稳定性问题[30]。近年来国内外在这方面的研究多集中于利用压电材料制作的执行器和传感器并将其与驱动电机结合起来,研究旋转梁的智能控制。目前国内的研究已经略有起色，这方面的研究必将是未来一段时间内的热门话题。也有像YangSM在旋转柔性梁的智能控制[31]方面;1999年,GuMin等利用Lyapunov理论,研究了单柔性梁的压电控制问题[32];在控制试验方面,LowKH等人用高速摄影机进行旋转梁的频率和振型测量,成为许多理论的实验参考[33]。国内殷学纲等人采用分段线性化的思想,利用分段压电片作为执行器,研究了运动柔性梁非线性振动主动控制的建模与分析[34]。在对坐标系以及他们之间的转化、高阶截断作了简短的介绍后，本文对桨叶的应变位移关系做出了相关表述。这套理论接下来将被应用于细长弹性小变形梁的动力学求解当中。方程的推导共分为两个部分，一个是利用Hamilton原理推导旋转梁的动力学方程的推导，第二个部分是利用有限元离散来求解方程。当非线性项被忽略后所有的推导过程将与参考文献[18]完全相同。