结  论 29

致  谢 30

参考文献 31

附录A  MATLAB数值仿真程序 32

1  绪论

1。1  研究背景

自1975年来，“混沌”这个关键词在科学文献中横空出世，引领了一股科学研究的潮流。混沌动力学的领域不断开拓延伸，通过各个学科间的交叉渗透，混沌理论的应用更加丰富起来。混沌作为物理学界的一个伟大发现，其意义与相对论和量子力学相当，同样打破了牛顿力学的条框[1]。自从爱因斯坦提出相对论，牛顿经典物理学的缺陷就暴露出来，绝对时空的概念被全盘否定，接着量子力学的出现，对牛顿“因果律”提出了质疑，从而非决定论走进了物理学界。如果说量子力学质疑了微观世界的“因果律”，那么混沌学理论的出现则否定了宏观世界拉普拉斯的决定型“因果律”。论文网

关于混沌理论，最早可以追溯到19世纪末，法国物理学、数学家庞加莱(Poincare)在动力系统中发现了两种轨道，分别是同宿、异宿轨道，并得出了三体问题无解的结论，最后在三体运动中首次发现了混沌[2]：庞加莱把动力学系统和拓扑学这两个科学范畴统一起来，采用相位谱图、相空间截面和拓扑学的方法，对一系列简化的三体问题进行了分析，指出了其相当复杂和极不稳定的特点，同时也提出了混沌存在的可能性[3]。20世纪60年代，洛仑兹（Lorenz）在《大气科学》杂志上发表了一篇文章，名字叫“决定性的非周期流”，他在里面指出“天气的长期行为不能够预测”和“任意天气状况不会重复出现”这两种情况存在着一定联系，即“不可预见性”和“非周期性”之间的联系。另外，洛仑兹通过长期的研究发现了一系列混沌运动的基本特征，并提出了第一个奇异吸引子——Lorenz吸引子。在1975年，中国学者李天岩与美国数学家J。A。York在美国的数学报刊上共同发表了一篇具有深远意义的文章[4]，文章中揭示了“周期3”代表着混沌，深入透彻地描述了从“有序”变成“混沌”的演化过程，并给出了混沌的定义，通俗地讲就是系统本身在一定范围内通过迭代的方式不停发生自映射。两位学者最大的贡献就是把“混沌(Chaos)”这个词引进了科学范畴，从此以后，混沌科学就迅速发展起来，并通过与其它的科学领域相结合，产生了广泛的应用。总而言之，混沌理论是一场巨大的变革，它在微观世界与宏观世界架起了一座新兴的桥梁，并丰富了非线性科学的内涵。

1。2  混沌概述

自然界中，有一类现象无法找到其发展规律，好像是随机出现的，例如天气的变化[5]。我们从数学角度去分析一个动力系统，对于一个确定的初值，一般就可以推出这个系统的历史长期行为以及过去性态，然而很多事实并非如此，有一些系统，在它们的初值出现极其细微的改变之后，它们的长期性态就会出现很大的改变，因此这类系统非常依赖初值，对初值变化反应极其敏感，就好比是“蝴蝶效应”这类的现象。由于在现实的研究中，实验误差是无法避免的，对某些系统的影响就是非常大的。从物理学角度上看，这种系统的行为的长期预测是随机的，但其实这又不是完全随机的，相较于布朗运动的完全随机性，混沌是一种“假”随机现象。真正的随机系统是根本无法预测的，无论已知任何位置的参数值，接下来的任何点的状态都无法预测，而混沌是某些确定性系统因为对初值的敏感性而产生长期的不可预测性，但在短期内由于是确定性系统，系统是完全可以确定的，所以，混沌系统不是真正意义上的随机系统。对于牛顿提出的决定论系统，例如单摆运动，对初值变化并不敏感，这样的系统可能是线性的，也有可能是非线性的。然而对于混沌系统，它必然是非线性的系统。