1。3  分数阶混沌系统的研究意义

分数阶微积分的研究已有很长的历史，然而在物理学研究中以及工程应用中一直没有得到应用，其中特别是混沌系统的研究。在研究混沌系统的近几十年中，研究者们发现应用分数阶来研究混沌系统比以往的整数阶更加准确，因此，越来越多的研究者开始进行分数阶混沌系统的研究。在双涡卷混沌系统、四涡卷混沌系统、多涡卷混沌系统以及超混沌系统中[6]，对分数阶微分方程利用不同的方法去求解，利用编程软件进行数值仿真，会发现当系统的阶数为分数时，系统仍会出现混沌现象。由于分数阶系统更适合描述实际系统所出现的物理现象，所以，分数阶混沌系统以及分数阶微积分理论的研究受到更多的关注。从而，我们需要寻找一些合适的求解分数阶方程的方法，并在进行数值仿真后总结这个分数阶混沌系统的动力学特征，之后经过计算得出我们所需要的能够产生混沌现象的系统控制参数。另外，为了应证之前的计算成果，我们还要设计实际电路来完成物理上的分数阶混沌系统，这就需要我们通过分数阶理论和数值解析来设计并算出电路中的元器件参数，来实现混沌信号的输出，这对我们实际的物理工程应用有着重要的意义。

1。4  研究内容

本课题的研究中需要掌握电路、现代控制理论基础等课程，在分析研究典型混沌系统结构特点的基础上，利用Matlab软件完成混沌系统的混沌特性和同步控制算法仿真，利用Multisim软件完成混沌电路的仿真测试，最终利用Protel DXP软件完成实际混沌电路及其控制电路，验证算法的正确性和有效性。

本文具体章节的安排如下：文献综述

第一章：主要描述了混沌的研究背景、混沌的概述、分数阶混沌系统的研究意义，以及本文的研究内容。

第二章：介绍了混沌的定义、基本特征和判别方法，以及分数阶微积分的定义与求解方法。

第三章：设计了一个分数阶三维混沌系统（电路），进行了理论分析、数值仿真（Matlab仿真）以及电路仿真（Multisim仿真）。

第四章：设计了第二章中提到的系统的实际电路，制作出PCB板，然后通过示波器的调试得出与仿真结果类似的相图，从而达到了实现分数阶混沌系统的期望。

2  混沌及分数阶微积分基本理论

2。1  混沌的定义

混沌系统是介于确定系统与随机系统的一类广泛存在的系统。在自然界中，往往不会存在像单摆运动（完全确定性系统）和布朗运动（随机系统）这类的极端情况，而是介于两者之间的混沌行为。然而，混沌的奇异性和复杂性一直困扰着我们，至今都没有一个统一、准确的定义[7]。现在，已有的定义从不同的方面反应了混沌的各种性质，下面是几种常见的混沌定义。

2。1。1  Li-Yorke混沌定义

Li-Yorke是第一个提出混沌的定义的，受到当时广泛的关注，并且在很多方面有很大的利用价值，他的定义如下：

Li-Yorke定理：设f(x)是[a,b]上的连续自映射，若f(x)有3周期点，则对任意正整数n，f(x)有n周期点。

Li-Yorke混沌定义[8]：如果在一个线段区间上，f(x)发生连续自映射，那么f(x)若满足以下条件，便能说明它有混沌现象：

1）f所有周期点的周期没有上界；

2）闭区间I上存在不可数子集S，来自~优尔、论文|网www.youerw.com +QQ752018766-满足

a）对所有时，，

b）对所有时，，

c）对所有，y为f的周期点时，。

根据上面的理论，可以得出这样的结论，在闭区间I上，若f(x)为连续函数，且有一个周期点的周期为3，那么所有正整数的周期点都会出现，即混沌现象一定会出现。当然，这个定义只涉及了一维的系统，并不全面，但它的首次提出以及存在的参考价值对后面对混沌的研究产生了很大的推动力。