2.3 永磁同步电机的矢量坐标变换及数学模型

数学模型是运用数理逻辑方法和数学语言建构的科学或工程模型。通过它我们可以将一 个实际工程对象用数学语言进行表达,然后对其展开工程上的研究,最后在进行反推,将研 究成果应用到实际对象中。这样既能帮助我们更好的了解控制对象,也可以简化分析过程。 所以,本文要研究永磁同步电机的控制,就必须先建立可行的数学模型。然而,要直接建立 和分析 PMSM 复杂的数学模型是十分困难的,因此对永磁同步电机相关矢量参数进行矢量坐 标变换来简化其数学模型是必要的。

2.3.1 矢量控制系统中的坐标变换 在矢量控制系统中使用较多的的三种坐标系如下[16]: (1)  三相静止坐标系(ABC 坐标系)

如图 2.3,定子三相绕组方向就是各轴线方向,且呈三相对称分布。 (2)  两相静止坐标系(α-β 坐标系)

如图 2.3,α 与 A 轴同向,β 与 α 逆时针垂直。

(3)  两相旋转坐标系(d-q 坐标系)

如图 2.3, 以转子 N 极方向为 d,q 逆时针垂直于 d,与转子一起运动。

图 2.3 永磁同步电机矢量坐标系及相关参量关系图

由图 2.3 知,各坐标系中的矢量可以互相转化,转化关系有四种,分别是 Clark 和 Park, 还有两者的逆变换,下面给出各坐标系中矢量转换的转换矩阵。

ABC 转化到 α-β,矩阵如下:

相反,α-β 转化到 ABC,矩阵如下:

同理,从 α-β 转化到 d-q,矩阵如下:

  

同理,从 d-q 转化到 α-β,矩阵如下:

相应矢量的坐标变换只需乘上相应的变换矩阵就可以实现转换,逆变换也同理。

2.3.2 永磁同步电机数学模型的建立

在建立数学模型之前,我们需要先做以下几点假设:

(a) 磁路为线性;

(b) Y 型连接的定子绕组排列方式和 ABC 坐标系三条轴线相同,且定子电势呈正弦状 态;

(c) 为了便于分析和计算,对于影响不大的转子阻尼和谐波效应我们都忽略不计;

(d) 磁路饱和、磁化不可逆性和线圈之间相互作用会产生感应电流,这些都不列入考 虑范围。

在这几点假设下建立的数学模型结构较为简单,大大简化了计算过程,且最终的分析结 果与实际控制对象相差不大,具体建模数学过程如下。

(1)在 ABC 三相静止坐标系中

如图 2.3,在 ABC 三相静止坐标系中,永磁同步电机电阻压降和磁链变化与绕组电压保 持平衡,所以有电压方程:

式中:  、 、 ——三相定子绕组相电压; 

      、 、 ——三相定子绕组相电流; 

      、 、 ——三相绕组全磁链; 

      ——定子绕组电枢电阻。 磁链方程为:

式中:  = = ——定子各相绕组自感系数;                 = ——定子绕组互感系数,X、Y 不同,取 A、B、C;  ——转子永磁体励磁磁链;

 ——转子 N 极与 a 轴方向的夹角。 从以上方程(2.5)和方程(2.6)可以看出,该数学模型在计算中会涉及到转子在任意时

刻的位置,模型复杂,且不是线性方程,所以采用该数学模型来分析永磁同步电机的控制就

显得十分困难。

(2)在 α-β 坐标系中

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