图 1-1： Bezier 曲线绘制效果

Bezier 曲线的两个端点位于控制多边形的的两个端点上，沿着起终点的切矢量方 向延伸。其他的端点则用于控制曲线的阶数和形状。曲线的形状会随着控制多边形顶 点位置的改变而发生改变，且趋近于控制多边形的形状。

虽然 Bezier 曲线有许多优点，但仍然有美中不足的地方：

（1）曲线的次数较高，比如控制多边形有 n 1个顶点，那么曲线的次数就确定 为 n 次；

（2）曲线的逼近程度与次数成负相关，次数越高则曲线的逼近程度越差；

（3）由于 Bezier 曲线的 Berstein 基函数在整个区间[0,1] 内有支撑，所以区间内 任何一点值的变化都将会影响全部顶点的值，调整任何控制点的位置，整条曲线的形 状都将会发生改变；

（4） Bezier 曲线比较难以拼接。

为了解决上述问题， Gordo和n Riesenf 于 1972 年用 B 样条基函数代替了 Berstein 基函数，构造了 B 样条曲线。与 Bezier 曲线相比，B 样条曲线更趋近于控制 多边形，生成的曲线更加光滑（很容易达到 C 2 连续性），除此之外，因为 B 样条曲线 是分段构成的，所以 B 样条曲线可以实现对曲线的局部修改功能，对曲线的控制灵

活而直观。也就是说任何单一控制点的修改只会引起邻近曲线形状的变化，远处的曲 线形状不会因此而受到影响，这种优点使得 B 样条曲线广泛应用于交互式自由曲线 曲面的设计。

图 1-2： B 样条曲线绘制效果

鉴于此，本文将 B 样条曲线作为生成隐式曲面的约束线。

1。2。2     显示曲面表示

显式表示形式是将一个变量用另一个变量表示[11]，以二维曲线为例，第一象限的

单位圆弧显式表示为 y  ，其中 0 x 1。在此方程中，每一个 x 的值对应着

一个 y 的值，根据 x 、 y 的值就可以确定一个点，每次不断地改变 x 坐标的值增量， 就可以得到若干个坐标点，将这些坐标点连接起来就生成了曲线。此外，显式表示在 旋转时会发生改变，且它不能够描述斜率为无穷大的曲线，据此这种表示方法与参数 曲面和隐式曲面的表示相比不具备优势。

1。2。3     参数曲面表示

参数表示通常都把曲面定义为一个点集 p(s,t) 的形式[11]：

p s,t x s,t , y s,t , z s,t  ( 1-1)

也就是说，在曲面的参数表示中，曲面上每一点的坐标均要表示成一个参数式。 若以角度为参数，单位圆的参数表示方法就可以表示为： x a r cos, y b r sin 其中0 2。论文网

参数曲面有如下优点：

（1） 可以有较大的自由度控制曲面的形状；

（2） 参数曲面可方便地进行旋转、平移、比例缩放等几何变换操作；

（3） 可以大大地减少计算量；

（4） 能够便捷地处理斜率无穷大的问题。 但是参数表示方法也具有难以克服的缺点[11]，它的局限性主要表现在：

（1） 构造具有复杂几何形状和拓扑结构的曲面时，参数曲面的次数很高，

（2） 而对高次代数曲面的设计和几何操作都是十分复杂和困难的。

1。2。4 隐式曲面表示

隐式表示方法通常把一个曲面定义为某函数 F 的零等值面 F( p) 0 [11]，即为：

F( p) F(x, y, z) 0 ( 1-2)

实际上是一种等值曲面[12]，隐式曲面将空间中的点分割为曲面上的点和曲面内外 的点。隐式表示的显示方法不依赖于坐标，能够表示任意自由度的曲线和曲面。