目前移动系统作用下弹性体结构动力学问题主要采用有限元方法、模态分析方法、格林函数等计算方法[13]。本文依托于独立模态空间控制法，考虑了移动质量重力、惯性加速度、Coriolis加速度对柔性梁振动动态响应的影响，导出方程简洁，响应求解便利，实现了移动质量激励的梁振动动态响应全面分析，为研究弹丸与身管之间耦合振动提供了理论依据[14]。

将身管简化为悬臂梁后，将发射时的弹丸看作施加在悬臂梁上的移动质量，则需进一步建立移动质量-梁耦合系统来分析火炮发射过程中身管的弯曲振动。

图2。2移动质量-悬臂梁力学模型

如图2。2所示，长度为L的悬臂梁上有一质量为M，以初速度，匀加速度a向前运动的弹丸。梁的抗弯刚度为EI，单位长度的质量为m，设梁上x处在t时刻的瞬时挠度为。梁的科氏力、向心力以及梁的阻尼对耦合系统响应的影响很小，故此处均忽略不计，仅考虑梁的牵连惯性力和相对惯性力，从而可以写出梁的振动方程为

式中：分别用撇和圆点表示任意位置瞬时挠度对x和t的导数；g为重力加速度；为狄拉克函数；为移动质量（即弹丸）走过的路程；表示牵连惯性力对梁的横向振动的影响项，表示相对惯性力对梁的横向振动的影响项。设

式中：(i=1,2,…，N)为悬臂梁的第i阶振型函数，为第i阶振型的广义坐标。将(2。19)带入 有

设为梁的各阶固有频率，且，在化简式(2。20)时考虑到模态函数（即固有振型函数）的正交性，将其两端同时乘以，并沿积分可得

式中：，分别为梁的第i阶模态的主质量和第i阶模态的主刚度。又因为，所以有

对上式等号右边中扰度y关于t的二阶导数项还可以进一步将式（2。19）带入，有

则能推出

于是式(2。23)可以写成

，将式(2。26)写出如下矩阵形式：

其中，

式中，为：

和分别是关于移动质量的位置坐标s的一阶导数矩阵和二阶导数矩阵，可以表示为：

从移动质量-梁耦合系统振动方程的理论推导过程可以看出，上述的计算并未事先对梁的边界条件做出限制，所以只要能写出梁的模态函数的解析表达式，便能进行相应的数值计算，适用范围较广。放在本研究的特殊条件下，只需要带入本章前一节中推导的悬臂梁的固有振型函数，便可依托MATLAB等数值计算软件进行有关悬臂梁振动在未加外力控制前的仿真。

2。4本章小结

本章基于机械振动的相关理论，由直梁的自由振动方程出发，推导出悬臂梁的固有振型函数。再将柔性身管和发射中行进的弹丸简化为移动质量-悬臂梁模型，通过理论力学和动力学推导出该模型的动力微分方程，为下一章控制律的设计以及后续仿真打下基础。

3身管振动控制策略

3。1独立模态控制法介绍

从振动理论知，系统或结构的振动可以将它置于模态空间来考察，无限自由度系统在时间域内的振动通常可以用其低阶自由度系统在模态空间内的振动足够近似地描述，这样，无限自由度系统的振动控制可以转化为在模态空间内少量几个模态的振动控制，亦即控制模态，这种方法称为模态控制法。其中又分为模态耦合控制与独立模态空间控制（IMSC）法两种，后者可实现对所需控制的模态进行独立的控制，不影响其他未控的模态，具有易设计的优点，目前已成为模态控制中的一个主流方法[15]。

通常，工程上将无限自由度的系统或结构离散化为N个自由度系统。在有控制u而无外扰动的情况下，无阻尼系统运动微分方程可写成