式中x与u为N维向量；x为物理空间下的位移；M与K分别对应系统的质量矩阵和刚度矩阵。 作如下变换：

式中q为N维模态坐标矢量，为振型函数，将式带入式得到

记，上式可写为

其各分量方程为

式为即为模态方程，为第i阶模态控制力。开环系统的各阶模态是相互独立的[15]。

 对于非耦合控制（即独立模态空间控制），若表示为

则有控情况下的闭环系统方程为

由可见，对非耦合控制，开环系统的各阶模态都是独立的，这给控制律的设计带来很大的方便。这时实际的控制u为

3。2最优控制法介绍

 最优控制就是兼顾响应与控制两方面相互矛盾的要求使其性能指标达到最优的一类控制，即满足一定最优条件的反馈控制。对于高阶系统，确定最优控制很复杂难以用解析形式来表示。而具有二次型性能指标的线性系统的最优反馈控制律则能用解析的形式表示，计算也相对简单[15]。

首先从一般的时变受控线性系统开始讨论。

系统的状态方程为

式中x、u、y、d(t)都是时间t的函数，分别为n、m、l、n维向量，矩阵A(t)、B(t)和C(t)具有相应的维数；d(t)为确定性外扰。

设计最优控制u使如下的目标函数J达到极小：论文网

式中、和为相应维数的权矩阵；为预定的（所希望的）稳态响应；为预定的瞬态响应；和分别为控制的开始时刻和终止时刻。

为使问题简化，几个权矩阵都为对角矩阵。从上式表示的目标函数来看，它是兼顾响应与控制两方面的要求，但这两方面要求又是互相矛盾的，从物理上理解，要使系统响应很快地与希望的值接近，施加的控制必然要大；而要是假的控制力小，就不可能要求响应与希望的值很快的接近。因此，几个权矩阵的取值就反映了设计者对相互矛盾两方面的要求的重视程度，即如要施加的控制力小，则相对地取得较大；如要使系统响应很快地与希望的值接近，则将和相对地取大[16]。当然，三个权矩阵本身个元素的取值大小，也反映对各个控制或各个响应的不同要求。

实践中，对于由式达到极小求得的控制u，能使输出响应与预期值保持一致，这就是跟踪性问题。如果和都为零矢量，且d=0，则求得的控制u能使输出稳态和瞬态响应跟踪零，这就是调节器问题。

本研究的问题重心是调节器问题。其最优解的必要条件需通过哈密顿（Hamiltonian）函数的极值条件得出。

构造哈密顿函数H为

式中称为拉格朗日乘子矢量，

要使式的目标函数J达到极小，必有

且由可知将带入得到

对于本研究的调节器问题，因为为零矢量式，由式和式得

上述两式都称为两点的边值问题，一个边界条件在开始时刻，另一个边界条件在终止时刻，并且为齐次矢量微分方程。

设具有如下形式

式中为阶对称矩阵，称为黎卡提（Riccati）矩阵，为与预期值有关的n维向量。

将式带入可得

式中右端第二项为开环控制，与状态量x无关。

将式带入式和式，可以得到关于的矩阵微分方程：

大量的计算经验表明，矩阵P在内的很长一段时间内都是常数矩阵，只在接近的很短的一段时间间隔内迅速趋于零。而在实际工程中遇到这一类调节器问题是对应时不变系统，因此，常取，这时退化为非线性矩阵方程

对应的控制为

对应的闭环系统方程为

求解式的黎卡提（Riccati）方程式比式的非线性矩阵微分方程方便的多，可在后续建模中由数值计算软件MATLAB的内置算法求解。按式确定的最优反馈控制能保证闭环系统总是稳定的，且具有无限的增益裕量和的相位裕量，因此，这种最优控制律设计方法广泛用于动稳定性与动力响应的主动控制。