其中 a1、a2……a6是待定参数（或称广义坐标）。用矩阵形式表示为：

因为节点也是单元上的点，所以待定参数可以通过把节点的坐标代入到位移函数中来求得。比如将i、j、m三个节点的坐标分别代入位移函数中，并把三个节点x方向的位移分量ui、uj、um用矩阵形式写在一起得到：

这样就可以解得待定参数为：其中：将求得的待定参数代入到位移函数中就可以得到：

两式合并，就可以用单元节点位移来表示单元内任意一点的位移，即：

式中函数Ni表示当节点i发生单位位移时，单元内每一点的位移分布规律，所以称它为位移的形状函数，简称为形函数，而矩阵[N]则称为形函数矩阵。形函数有两个重要性质：第一，形函数Ni在节点i上的值为1，在节点j、m上的值为0，同理Nj、Nm也一样；第二，在单元的任意一点上，三个形函数的和等于1。这些性质将等效节点载荷的计算大大简化。

这种通过先假设位移函数为带待定参数的多项式，然后通过节点上的值解出待定参数，再利用节点位移和形函数求出单元内任意一点位移的方法，从数学角度看是一个在单元上对位移进行插值的过程。位移函数就相当于插值函数，形函数相当于插值基函数，它的性质也是插值基函数所应具备的性质。根据这一认识，在对复杂单元建立位移模式时，不必再按这个步骤去求解，因为当单元节点较多、形状较复杂时，求解会十分困难，甚至无法求解。这个时候，我们要根据插值的概念，根据形函数的性质去构建形函数，从而得到它的位移模式。分片插值是有限元法的一个重要思路和手段，因为我们在整个弹性体上很难用一个通用插值函数精确逼近位移场，只能用每个小单元上分片插值的方法来代替。

位移模式用单元的节点位移来确定单元内任意一点的位移，用各点的位移可以求出各点相应的应变和应力，进而可以推导出用单元节点位移求单元内任意点应变和应力的方程。

由位移求应变是利用弹性力学中的几何方程，将位移模式代入几何方程得到：

其中   [B]被称为几何矩阵（或应变位移转换矩阵），将形函数代入几何矩阵中可得：

由于三角形面积A以及bi、ci都是可以用节点坐标求得的常量，所以是一个常量矩阵。由此可以得出简单三角形单元的应变是常量，所以通常把它称为常应变三角形单元。

有限元分析最终的目的是求出单元的应力，知道应力分布状态才能知道结构是否满足强度的要求。得到单元应变后，把单元应变代入物理公式中，就可以得到单元应力。将几何矩阵和弹性矩阵代入上式就可以得到应力矩阵的表达式：

跟单元应变一样单元应力也是一个常量，一般而言，相邻单元的应力是不一样的，所以应力在相邻单元的边界上是间断的，这也体现了有限元法的近似性。为了使结果能比较好地反映出弹性体内应力分布情况，在弹性体应力变化比较明显的地方单元划分应该更加细化，在其他地方单元划分可以大一点，这样既可以得到较好的结果又可以减少工作量。文献综述

弹性体进行离散后，各单元之间仅通过节点相互连接，在平面问题中，我们把它看作光滑铰接。弹性体上的体力、面力和集中力等都要移置到节点上来。当节点受到载荷作用就会发生位移，同时会对周围的单元产生力的作用，使周围单元发生形变，而单元又会产生阻止节点发生位移的力，最终会处于一个平衡状态。我们把这个单元与节点之间相互作用的力称为节点力，它是一个内力。如果单独分析节点，它在外载荷和节点力的共同作用下平衡。如果要从平衡方程中求出节点位移，就必须用节点位移来表示节点力。取一个单元进行研究，它受到三个节点力（节点力总体用列矩阵｛F｝e表示）的作用，发生形变后内部产生一个应力（应力用列矩阵｛δ｝e表示）。根据虚功原理，假设单元体产生一个虚位移，那么单元节点力与节点虚位移的积应该等于单元应力与单元应变的积，即： 平面结构的温度场和热应力的有限元程序设计和计算(4):http://www.youerw.com/wuli/lunwen_100693.html