对（11）式两边同乘波函数 并代入 式中，得 满足的微分方程是

此方程即为所需建立的薛定谔方程 。

2。2 尝试法引进薛定谔方程

我们知道自由粒子的波函数 是平面波，它具有以下四种表达式或它们的线性组合表达式： ， ， ， 。想要满足这些波函数的方程必须符合：①de Broglie relation导出的 ；②方程是线性方程且符合叠加原理；③系数不含动量、能量等状态参量 。论文网

观察 ，其中 的指数为1， 的指数为2，对比 ，得出：所需建立的方程必包含 和   因此可以设所求的方程为       

将上述的四种波函数代入（13）式中，可以得到：

其中三角函数形式波函数无法满足方程，而两种复数形式波函数是可以满足方程的。设波函数为                   

则     综合 、 两式得：       

两边同乘 ，得                                   

即自由粒子的三维薛定谔方程。

2。3 类比法引进薛定谔方程

从力学到波动力学，就像光学中用惠更斯理论来代替牛顿理论相类似，因此，我们尝试构成这种象征性的比例式 ：

在光波波长 的数量级微小范围内，几何光学将会被波动力学所代替，那么，我们可以猜想：在原子或分子大小的微小范围内，波动力学将代替牛顿力学而决定微观体系的运动 。

在介质中，光的波动方程是   

其中 。由于力学与光学的相类似，波动力学基本方程类似于波动光学的波动方程：

在势场 中，     综合 、 两式，得     

把 式代入到 式中，得 

即定态薛定谔方程           

3 薛定谔方程基本性质的讨论

3。1 波函数与态叠加原理文献综述

 周世勋在《量子力学教程》中曾说过这样两个观点：第一、波函数是用来描述一个微观体系的量子态；第二、态叠加原理是波函数的线性叠加，那么，我们可以在当前大多数有关量子力学的书籍期刊中发现，量子力学的波函数都是在建立薛定谔方程的过程中引入的。然而，Max Born对于波函数的概率解释是从理论计算结果与实验比较中获得到的 。因此，我们必须要明确的是：波函数的概率解释并非只是附加在薛定谔方程上的一个独立假设，而是能从薛定谔方程中一步步推导出来的。详细的态叠加原理的表述是，“波的相干叠加性”与“波函数完全描述一个微观体系的状态 。”

 例如：对于某一时刻 来说，若设用 描述体系所处的状态，则在此状态下测量力学量 时可以得的结果为 。在 的状态下测量力学量 可以得到的结果为 ，则在 所描述的状态下，测量力学量 可能得到 ，也可能得到 。假设态是含时间的变量函数，则态叠加原理为：设 和 分别是描述粒子所处的两个可能态，则它们的线性叠加  也代表粒子所处的某个状态。 薛定谔方程的建立与分析(3):http://www.youerw.com/wuli/lunwen_202257.html