2  零温时Bose-Hubbard模型的纠缠

我们考虑一个由N个独立的无自旋Bosons构成的原子气体，由相向传播的激光束囚禁在光晶格中。考虑只占据最低Bloch 能带，光晶格中相互作用Bosons可以用Bose-Hubbard模型描述[2,3]：

其中第一项是动能项，描述相邻格点( )间的隧穿耦合J,  是左右势阱中的产生(湮灭)算符，满足正则对易关系 ；第二项描述同一格点上原子间的在位能U，其中算符 是格点j上的玻色子数算符；第三项描述格点间的不均匀性。我们已经知道这个Hamiltonian利用Feshbach共振通过控制在位能与隧穿能的比率U/J，可以实现超流相与Mott绝缘相之间的零温量子相变：超流—Mott绝缘体相变，这一现象最初是由Fisher等人提出并预言，并且已经在实验上得到验证[4]。

在下文中，为了简便起见，我们只考虑一维(1D)均匀双模Bose-Hubbard模型，其Hamiltonian可以表示为：

这个Hamiltonian的Hilbert空间是N+1维的，由如下Fock基张成[5]：

其中 表示真空态，N是粒子数。在Fock表象下，基态可以表示为 。根据平均场理论预言[3]，我们期望在原子极限 得到超流态(SF态)，在 极限得到Mott绝缘态(MI态)，即Fock态 。

哈密顿量(2)在Fock空间中是(N+1)×(N+1)三对角矩阵，较易对角化。本文中零温时Hamiltonian(2)的基态通过精确数值对角化方法求得。我们采用占有数密度 和涨落 来检测基态，其中期望值是对基态的期望值。零温时，两模的涨落是对称的[6]，即 ，并且 。很显然，根据平均场理论，对于MI相的Fock态，我们期望得到 ，并且 为常数。我们进一步计算Von Neumann熵 [7]，其中 ，并以S作为系统的纠缠用于刻画量子相变的行为。对于MI相的基态，我们已知 。我们期望涨落与纠缠有类似的行为。事实上，文献[6]表明多体纠缠可以用涨落来表示。来!自-优.尔,论:文+网www.youerw.com

 平均占有数及涨落的变化规律。

系统的涨落显现出一种奇偶效应，如图2所示：当N为偶数时，当 增大，粒子数涨落受到抑制，表明系统进入MI区域，相应的基态为可分离的Fock态；而当N为奇数时，随着 增大，粒子数的涨落并未被完全抑制，这表明具有奇数个粒子数的系统会保持在类SF相，而平均场理论预言的SF-MI相变不会发生，这与非整数填充的情况相吻合[8]。这种奇偶效应行为可以通过Hamiltonian (2)的伪角动量表示[9-11]来说明。在伪角动量表象下，我们引入三个角动量算符[9]