（1-1）

因此小球的加速度a与它相对平衡位置的位移x成正比，方向与位移x相反。因为x（或F）是变量，所以a也是变量，小球作变加速运动。我们定义 得到如下微分方程

                                          （1-2）

对此微分方程式，利用高等数学方法，可求得其解为

这说明小球的位移x是是按正弦曲线的规律随着时间作周期性变化的，其变化的角速度为 ，从而得到作简谐运动物体的周期 

图1-2 单摆受力分析

单摆是一种理想化的模型，实际的摆只要悬挂小球的摆线不会伸缩，悬线的长度又比球的直径大很多，都可以认为是一个单摆。当摆球静止在O点时，摆球受到的重力G和摆线的拉力T平衡，如图所示，这个O点就是单摆的平衡位置。让摆球偏离平衡位置，此时，摆球受到的重G和摆线的拉力T就不再平衡。 在这两个力的作用下，摆球将在平衡位置O附近来回往复运动。当摆球运动到任一点P时，重力G沿着圆弧切线方向的分力 提供给摆球作为来回振动的回复力 来!自-优.尔,论:文+网www.youerw.com ，当偏角 很小﹝如 ﹞时， ，所以单摆受到的回复力 ，式中的l为摆长,x是摆球偏离平衡位置的位移，负号表示回复力F与位移x的方向相反，由于 m、g、L 都是确定的常数，所以 可以用常数k来表示，于是上式可写成 。因此，在偏角 很小时，单摆受到的回复力F与位移x成正比，方向与位移方向相反，单摆作的是简谐运动。把 代入到简谐运动物体的周期公式，即可得到单摆的周期公式  。

2 数值计算方法

2.1 龙格库塔方法

龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。由于此算法精度高，采取措施对误差进行抑制，所以其实现原理也较复杂，该算法是构建在数学支持的基础之上的。龙格库塔方法的理论基础来源于泰勒公式和使用斜率近似表达微分，它在积分区间多预计算出几个点的斜率，然后进行加权平均，用做下一点的依据，从而构造出了精度更高的数值积分计算方法。如果预先求两个点的斜率就是二阶龙格库塔法，那预先取四个点就是四阶龙格库塔法。对于一阶精度的拉格朗日中值定理有：