（2-2）
式（2-2）中 为初始振幅，即手摆动摆轮所达到的振幅值， 为系统固有圆频率。由于空气阻尼的不可避免性，摆轮会在阻尼的作用下慢慢地停止，波尔共振仪也只记录50°-150°的幅值间的固有周期。若考虑空气阻尼，则式（2-1）应加上一个空气阻尼项，即 ，式（2-1）变为：
                     （2-3）
令 ，其中 为空气阻尼和轴承摩擦等造成的阻尼系数，式（2-3）变为：
                    （2-4）
用数学软件可以画出式（2-4）的函数图象（理想状况），自由振荡的振幅随着时间呈指数级减少，如下图2-1：
 
由于空气阻尼系数较小时，所以振荡的次数会更多，即在一次次的振荡中振幅逐渐减小。仿制空气阻尼情况下摆轮的自由振荡图像如下图2-2。
理论情况下，在自由振荡中，每一次的振荡都可以看成简谐运动，即式（2-2）。然而由于阻尼因素以及弹簧等方面的影响，固有周期会因为振幅的变化而略微改变。波尔共振仪运用摆轮和光电门等来测量所需物理量，运用计数器计算通过光电门的短凹槽的个数来计算得到振幅值，运用计时器计算长凹槽两次通过光电门的时间来计算固有周期值。由于本实验中实验仪器采用石英晶体作为计时部件，所以测量周期的误差可以忽略不计。那么在自由振荡这一环节实验所得结果的差异性应该主要是由摆轮，涡旋弹簧以及装置框架结构的差异所造成。所以通过分析自由振荡实验中阻尼系数的差异来寻求仪器上的差异。
运用数据处理工具[11]对四组仪器的自由振荡的周期-振幅值进行比较，见下图2-3：
从上图2-3的数据图表分析中可以得出以下一些结论：
1、所抽取四台仪器的固有周期并不具有一致性，不同仪器间的固有周期变化范围约为10%，仪器在多年使用后具有明显差异，由（*）式可知应是涡旋弹簧上有所差异，也有可能是弹簧安装和校零不完善的问题；
2、周期随振幅的变化趋势也不尽相同，除53号仪器外，另外三台仪器固有周期较为稳定，而且随着振幅的减小而增大；
3、53号仪器的固有周期随着振幅的变化趋势较为明显，虽然变化范围只有1%，但较其他仪器已有明显差别，而且固有周期是随着振幅的减小而减小的；
4、波尔共振仪记录固有周期时并不是连续记录，02号仪器在振幅90°-50°间的固有周期记录中有明显缺失，不排除仪器的光电门和计数电路等出现问题；
5、由于各仪器间摆轮的转动惯量相对统一，经分析固有周期的差异主用由涡旋弹簧的材质，安装时垂直与否以及弹簧长度的改变引起，主要就是劲度系数的影响。
现在分析一下所抽取的四台波尔共振仪的自由振荡情况，考察一下时间-振幅的数值图象与式（2-4）的拟合程度，以及自由振荡时阻尼作用是否一致。
对振幅-固有周期的数据进行处理，即假设认为仪器对振幅值是连续记录的，那么时间值就可以通过周期值的累加来进行表示。经整理可得下图2-4：
由于振幅值的记录有缺失以及其他情况的存在，所以导致时间-衰减振幅的数值图像与指数函数有一定差异，不过与式（2-4）大致符合。从上图可以看出，四台仪器所受到的阻尼影响是不同的，然而由于四台仪器在同样的环境中进行实验，与其说空气阻尼的影响，不如说涡旋弹簧的设置以及轴承摩擦有更大的影响。从上图数据倾斜趋势可以大致看出，阻尼系数的大小关系：53号<02号<06号<03号（#）。由于仪器的校验调整以及多年使用的磨损，仪器间的差异性是可以理解的。 波尔共振仪的改进研究与制作(4):http://www.youerw.com/wuli/lunwen_9227.html