随着 Boussinesq 模型的发展，有关非线性波浪引起的港湾振荡的研究发展迅速。 Nwogu 使用使用有限差分法推导了 Boussinesq 模型，并用该模型研究了短波波群产生 的锁相长波、该锁相长波经过很长的折射和绕射转变为自由长波以及该自由长波在港 内由于共振而被进一步放大的一系列的过程。Woo 和 Liu[51]结合线性单元使用 Galerkin 有限元法离散了 Nwogu[46]的 Boussinesq 方程，然后研究了港湾振荡发生时和谐和差谐 成分产生的过程。然后将其结果和已有的理论和实验结果进行了比较，他发现二者相 差很小。Losada 等[52]进一步改进了 Woo 和 Liu[51]的数值模型，引入了一个稳定方法来 求解该数值模型，从而消除了数值过滤的收敛性问题和数值耗散问题；并且也采用不 同的方法处理了反射边界，显著减少了数值收敛所需要的迭代步数。随后他们使用得到的数值模型模拟了两个相邻港池的非线性振荡，并且，做了很多物理模型实验来验 证数值模拟的结果。他们对比了物理模型实验结果和数值模拟结果之后，发现两个结 果十分吻合。Thierry 和 Lepelletier 等[53]考虑到波能的耗散机制，推导出一个基于有限 法的 Boussinesq 模型，然后分别使用该模型研究了港口的非线性瞬变共振并用物理模 型实验进行了验证。 Zelt 和 Raichlen[54] 使用有限元法来对 Lagrangian 形式下的 Boussinesq 方程进行了离散。随后他们使用该数值模型对一个狭长型港口的第一共振 模态的共振反应进行了研究， 并且用物理模型实验加以验证。 Dong 等[55] 采用 Boussinesq 模型对由双色波群引起的港池内的振荡进行了模拟，并且使用二阶自相关 谱研究了非线性港湾振荡在各个阶段各个频率的波浪成分间能量的传递过程，还使用 一个指数函数描述了港湾振荡的成长过程和耗散过程。Dong 等[56]使用 Boussinesq 模 型进行了物理模型实验，研究了滑坡诱发的冲击波所引起的港湾共振，发现这种冲击 波中具有孤立波特性的波浪成分在港湾共振中作用显著，而具有色散波特性的波浪成 分在港湾共振中作用比较小。Wang 等[57]假定狭长型矩形港湾内的水深呈线性增加， 并基于此推导了波浪垂直于口门入射时港湾内纵向振荡的解析解；同时，他们将线性 长波方程扩展成了弱色散 Boussinesq 方程，从而得到港湾内横向振荡的解析解。随后， Wang 等[58]推导出一个可以描述港湾内部的底床运动的 Boussinesq 模型，然后使用该 模型模拟了水深呈线性变化的港池内的共振现象，系统研究了港湾振荡的纵向振荡和 横向振荡的各个模态与底床运动位置、速度和幅值的关系。马小舟和刘嫔等[59]使用 Mike21-BW 模块研究了港湾对孤立波和白噪声的响应，并且研究了港湾的自振频率。 孙忠顺等[60]使用 Mike21-BW 模块研究了港池对不同各种扰动的响应。史宏达等[61]使 用 Mike21-BW 模块研究了入射波周期变化、港池口门宽度变化以及口门位置对港湾 振荡的影响，发现当港湾尺度为半波长的整数倍时，便会发生共振，并且共振很大程 度上要受到港池口门的宽度和位置的影响。Wang 等[62]使用 Boussinesq 模型研究了港 湾振荡发生时波浪的不稳定性现象。

如今，基于 Boussinesq 的数值研究方法有很多，包括有限差分法、有限元法和有 限体积法。本文所使用的是近年来所发展的新的数值研究方法，也就是 FUNWAVE 模 型，该方法一经面世其研究者便将其源代码公布。Wei 等[63]使用一个非交错有限差分 方程进行了空间求导，使用一个综合的四阶 Adams–Bashforth–Moulton (ABM)方法进行了时间步计算，从而改进了 FUNWAVE 模型，然后将其应用于完全非线性方程。在 这种方法中，空间差分通过使用一个多阶方法来控制，并且使用精确到四阶的中心差 分来进行一阶求导，精确到二阶的差分来进行三阶求导。这样做是为了将领头阶的截 断误差移至比 O(μ)高一阶的色散项（其中 μ 是特征水深与水平长度的比值，表示特征 频率色散性的无因次参数），同时将空间导数的三对角结构维持在时间导数项上。这种 方法十分简单并被广泛应用到其他 Boussinesq 模型上。Kennedy 等和 Chen 等[64]研究 了该模型的更深层次，以便将其推广到模拟破碎带流动上。波浪破碎通过使用概括到 二维的 Zelt[65]的涡流粘度模型来控制。其他 Boussinesq 模型的研究者也使用了相似的 方法，例如 Nwogu 和 Demirbilek[66]，他们使用了一个更加复杂的涡流粘度模型，在该 方程中涡流粘度用湍流动能和一个长度尺度来表示。冲流带移动水线的存在通过使用 一个水槽或可渗透海滩法来控制，其中整个区域通过使用一组水槽来保持湿润，水槽 的网格的间距很窄但是被扩展到水深低于模型的自由表面的最小预期位移。这种一般 化过程形成了现存公共领域代码的基础。随后，代码的实验版本得到了许多扩展。 Kennedy[67]通过使用一个自适应参考平面改进了该模型在非线性方面的表现，此平面 可以随着局部表面波动而上下移动。Chen 等[68]考虑到沿岸周期边界条件并且研究了它 在模拟相对较直的海岸线的沿岸水流的应用，从而扩展了该模型。Shi 等[69]推广了该 模型的坐标系统为非正交曲线坐标。最终，Chen 等[70]提出了修正模型方程，该方程纠 正了原模型在表示高阶对流项上的缺陷，从而得出一系列方程，这些方程减小了耗散 效应，保存位涡到 O(μ2)，并且精度与原模型相差无几。 港湾振荡研究现状综述(2):http://www.youerw.com/yanjiu/lunwen_91322.html