图6. (a). 时变量时域响应，(b). 平面相图，(c).三维相图17

图 7. (a). 时变量时域响应，(b). 平面相图，(c).三维相图17

图 8. (a). 时变量时域响应，(b). 平面相图，(c).三维相图18

图 9. (a). 时Lorenz系统的三维相图，(b). 时 

的Chen系统的三维相图20

  图10. 当 时，(a)、(b)分别表示非混沌的Lorenz系统和Chen系统，

        (c)为相同参数下混沌的 系统21

  图 11. Lorenz吸引子（当 时）22

  图12. Chen吸引子（当 时）22

  图 13.  吸引子（当 时）23

表1.  Lorenz系统中的分岔与混沌（ ）18 

 1  引言

确定性系统经过长时间的运动后，通常会出现以下4种形式：平衡运动、周期运动、拟周期运动和混沌运动。由于混沌运动的发现时间较晚且其本身的复杂性，所以人们对混沌运动的了解，不似对其他3种运动形式那般透彻。论文网

“混沌”一词来自英语“chaos”，原意为混乱、无序。在现代非线性理论中，混沌用来泛指在确定体系中不附加任何随机性因素仍可出现的貌似无规则的运动。也正是因为这种“貌似无规则”，才使得非线性混沌和平衡态噪声经常被拿来作比较。它们有很多相同点，比如运动状态都无规律且复杂，但不同的是，非线性混沌是看上去像随机运动，而平衡态噪声本身就是随机运动。所以两者其实是完全不同属性的运动，而造成这一切的原因有如下几点：

⑴ ．起因：混沌的无序运动源于系统内部，即内在随机性；噪声的无序运动的主要因素则是外力。

⑵ ．内部构造：混沌经过分岔差别越来越大；噪声使得每个局部越来越均匀化。

⑶ ．有无对初始条件的敏感依赖性：混沌有，噪声没有。

清楚这些区别，有助于我们更好地了解和判断混沌。本文在之后章节中介绍的都默认是非线性动力学混沌。

1．1  混沌研究的历史