第二章 预备知识和相关理论
本章讲述了研究多智能体需要提前了解和学习的相关知识,方便下面对智能体 的研究。
2。1 本文中常用的记号
我们学习数学知道,复数集用 C 表示,整数集用 Z 表示,实数集用 R 来表示。Rm
表示 m 维实向量空间, Rmn 表示 m n 维的实矩阵空间。
用 I p 来表示 p 阶单位矩阵,1p
。如果没有特别的
提示或说明用 0 代表适当维数的向量或矩阵。
复数 s 的模用 s 来表示, Re s和 Im s用来表示着复数的实部和虚部。 符号函数用sgn来表示。
向量 v v ,, v Rp 和标量R p ,用 v 来表示向量 v 的第 l 个元素。对角矩 阵
2。2 矩阵论中的几个定理:
(1) 矩阵的 Kronecker 积定理:A a
矩阵 A,B,C,D,满足下列等式 A BT AT BT ,A BC AC B C ,
ABCDA CB D。
( 2 ) Gerschgorin 定 理 : 设
G z : z a R , z C称为在复平面上圆域矩阵 A 的第 i 个 Gerschgorin 圆。矩阵 A
特征很都落在 n 个 Gerschgorin 圆的并集中。
(3)Schur 补定理:设 S 是分块矩阵且 S S21
,则满足条件 S 0 当且仅22 或等价于
2。3 图论的基本知识
多智能体系统中的智能体通信网络我们用通信拓扑图来表示,我们把该拓扑图记 为 g v,,节点集合用 v 1,, n,边集用 表示,智能体 i 能够接收智能体 j 的信 息用 j,i表示。若 i, j 时,有 j, i,则称图 g 为无向图。如果一个智能体 系统的通讯拓扑图中所有的信息交换都是无向的,那么这个系统的通讯拓扑图称为无 向图。
通讯拓扑图一个重要的特性是连通性。无向图的连通的条件是:对于任意节点 i 和 j ,都存在由 i 到 j 的路径。有向图连通的条件比无向图的苛刻,只有有向图中两个 节点的路径是有向的,有向图才是连通得到。有向图的连通性可以分为强连通和弱连文献综述
通。强连通是指对于任意的节点 i 到节点 j 存在有向路径。弱连通指对于任意两个节
点 i 和j ,只要存在 i 到 j 或j 到 i 的有向路径就可以。
邻接矩阵用 A a 表示, a
0 表示矩阵元素。若 j,i,则 a
0 ,反之aij 0 ,节点 i 到节点 j 的权重 用 aij 来表示。定义节点 i 的入度和出度分别为
degin i aij 、 degout i aij 。如果 degin i degout i,称 g 为平衡图。
引入图 g 的拉普拉斯矩阵 L D A 有助于更好地研究智能体系统的一致性。其
拉普拉斯矩阵 L 具有以下性质;
(1)L 的所有特征根具有非负实部,0 是 L 的一个特征根,对应的特征向量为 1n 。
(2)若有向图 g 包含一棵生成树,也就是图 g 是连通的,那么图 g 的拉普拉斯 矩阵 L 有且仅有一个特征根为零。
(3)当图 g 为无向图时,则图 g 的拉普拉斯矩阵 L 是对称矩阵,而且是 半正定的,且 L 的特征值满足如下关系:
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