在5.12.1部分提出的牛顿法可以扩展用于最小化多变量函数。为此，考虑二阶近似的功能f(X)=Xi可以利用泰勒级数展开如下：

 是二阶偏导数在点Xi的矩阵（海森矩阵）。为了求f(X)的最小值，我们通过设置方程 （6.95）中偏导数等于零得到： 

由方程（6.96）和（6.95）可得：49614

                                        (6.97)

如果 是非奇异矩阵，方程（6.97）可以得到一个近似（X=Xi+t）如下所示：

                                                                (6.98)

方程（6.95）和（6.98）中的高阶项被省略是用于迭代来寻找最优解X*。

矩阵 是非奇异的，从任何初始点X1开始的序列点X1，X2，...，Xi+1都可证明它是收敛的，因为他们相当的接近最优解X*。可以看出，牛顿法采用了二阶偏导数的目标函数（形式的矩阵 ），因此它是一个二阶方法。

例6.11   牛顿法可以找到一次迭代的最少值。

解决方案：如下列二次函数可知

          f(X) =  XT[A]X+BTX+C

函数f(X) 的最小值如下可得

           f = [A]X+B=0

又如 

           X*=－[A]-1B

对方程（6.98）迭代一次得

          Xi+1=Xi－[A]-1( [A]Xi+B)                          （E1）

其中Xi是整个函数迭代的起点，因此方程（E1）可以简化成

           Xi+1=X*=－[A]-1B

图6.17显示了这个过程。

例6.12 通过设定初始点X1={0,0}可以得到函数 的最小值。

方案如下：   我们通过方程（6.98）找到X2，我们要求得 -1,则

                    =  = 

因此，

           图6.17       函数一次迭代的最小值

例如：

              = = = 

利用方程（6.98）可得：

          X2 = X1 －  -1 = －  = 

接下来我们要判断X2是不是最佳点，如下所示：

            = = = 

如果g2 =0,X2是最佳点。因此，该方法融合了函数的一次迭代。

如果函数f(X)是一个非二次的函数，牛顿法可能有点偏离，它可能收敛到鞍点和相对极大点，这一问题可以通过修改方程（6.98）避免，修改后的方程如下所示：

           Xi+1=Xi+λi*Si=Xi－λi* -1 fi 

λi* 在方向Si =－  fi  上的最小步长，修改过后的方程（6.99）有很多的优点。第一，它可以通过原始的方法以较少的步骤找到最小值。第二，在某些情况下，利用原来的方法可能不收敛，但是通过方程（6.99）可以找到任何情况下函数的最小值。第三，它通常避免收敛到一个鞍点或最高点。这种方法拥有这么多的有点，那么它可以看作是是最好的求最小值的方法。尽管它有如此多的有点，但是由于如下所示的特点，该方法在实践中不是很常用，特点：

1、它需要的是 的矩阵形式；

2、它变得非常困难，有时，无法计算矩阵 的元素；

3、它要求矩阵 反演的每一步； 牛顿法英文文献和中文翻译:http://www.youerw.com/fanyi/lunwen_52657.html