周期密度函数类似于信号外部的功率谱密度的作用和简单性。

2.3 循环谱

这篇文章的目的是集中在损坏轴承信号的某一双频特性上，这些缺陷能揭示缺陷的本质。循环谱分析结合了损坏轴承振动信号的周期和高阶属性。周期分析能识别几个调制机械信号的相关性，通过支配这些信号统计时刻周期的循环频率来表示，另一方面，谱能检测相耦合的组频率元件。换句话说，算法是建立在小改动谱的计算基础上，为的是提出循环频率的概念。因而，离散信号X(n)的循环谱可定义为：

Bα (k, l) = E [ X (k) X (l) X ∗ (k + l − α)].                            (9)

公式9中，循环谱的介绍需要三个不同的频率轴：A）.像公式（2）中由指数K和L分别表示一样，谱轴线f1和f2由谱分析表示。B）.循环频率轴 ，因为三个不同轴结果的介绍在实际中几乎不可能，世界循环谱分析涉及到公式9的计算仅是为循环频率a找一个谱值。因此，等高线图几乎产生类似于传统的谱分析。但是，每一个对应一种特定的循环频率α．

３.滚动轴承振动反应的随机性

大量模型已用来描述滚动轴承在不同类型缺陷下的动力行为．根据传统方式［9］，由固定轴承缺陷产生的重复冲击可以由下面形式的狄克拉三角函数系列表示为：   

其中，Ｔd是脉冲周期，被定义为滚动轴承特征缺陷频率．d0是脉冲的振幅,显示缺陷的严重程度。q(t)是滚动轴承径向负荷的分布函数，近似于著名的stribeck方程[9]。

但是，一个缺陷轴承滚动元件动态反应的重大变化是存在的，当上述方程中的某些参数被假定为随机的而不是固定的。例如，冲击影响，排除轴承周向负荷分布，装配动刚度的变化，滚动元件和圈体的波动，以及球的配合是否合适等。因此，这一系列的影响应视为振幅的随机调制。

与此同时，滚动轴承经历了大量滑动，结果，脉动从不在同一周期同一位置发生。

因此，有缺陷的滚动轴承脉动系列的一个更现实的模型可以如下表示：

其中，Ak是冲击力振幅的随机变量，具有一个均值d0和假定正常(高斯)的概率密度函数。Τk是由于存在滑动的两个冲击间的时间差的随机变量，该滑动被假定为一个0和正常的概率密度函数。

式12的脉冲列产生了脉冲激振力，在轴承和机构间产生共振。简单假定激发机构是一个多自由度线形系统，每个脉冲的结构反映可为：

 其中，i=1,M是激起模式，对每个模式i.  mi是恢复时间，fni  是共振频率，Qi是品质因数。

因此，产生于轴承生产缺陷的动态反应可表示为： 

     其中，符号⊗表示卷积，n(t)是存在的背景噪音。

为了展出某些关键参数随机性的效果，对振动光谱，如滑动就是一个典型的例子。公式15产生的模拟信号，对应的是一个外圈有缺陷轴承的典型反应。轴转速 是19.35HZ。特性轴承缺陷频率 （球传频率外圈）相当于3.75倍的主轴转速，导致估计的 大约为72.47HZ。该系统的激发自然频率假定为3975HZ，信号由16384个样本组成，抽样率为40HZ，品质因数 =12。最后，假定滑动百分比从0变化到1.44%. 质量有缺陷的滚动轴承振动响应的循环方式英文文献和中文翻译(3):http://www.youerw.com/fanyi/lunwen_53266.html