分析法是证明数学问题的一种极为重要的基本方法，本文从观察待证式的结构，寻找待
证式与已知条件的关联以及解剖思文过程中的每一步分枝方面入手，探索用分析法证明问题的思文过程。
特别是正确选择思文分枝对立体几何中线面的垂直与平行的证明起着关键作用。4001
［关键键词］１．挑选正确的思文分枝；２．观察待证式的结构并注意待证式和已知条件的衔接．
分析法是从结论入手，逆求使它成立的充分条件，直到和已知条件沟通为止。但是在教学中总是发现
有很多学生虽然学会了分析法的思文框架，但在遇到题目时还是不会证明。其实要使用分析法去证明数学
问题，除了掌握其思文框架和一定基础知识外，还应注意如下几方面：
一、挑选正确的思文分枝
例 1．如图所示， SA ⊥ 平面 ABC，AB ⊥ BC，
过 A 作 SB 的垂线，垂足为 E，过 E 作 SC 的垂线，
垂足为 F。求证：AF ⊥ SC
分析如下：
1)、欲证 AF ⊥ SC ，
只需证： AF ⊥ SC 所在平面 SAC；或 AF ⊥ SC 所在平面 SBC；或 SC ⊥ AF 所在平面 SAC；或 SC ⊥ AF
所在平面 AEF。因 AF ⊂ 平面 SAC 内，故可排除 ；由 SA ⊥ 平面 ABC，得 SA ⊥ BC，又 BC ⊥ AB，得 BC ⊥ 平
面 SAB，故 BC ⊥ AE，又由已知 AE ⊥ SB，得 AE ⊥ 平面 SBC，所以又可排除 ；因为 SC ⊂ 平面 SAC 内，故
也不可能。故选 SC ⊥ 平面 AEF。
2)、欲证 SC ⊥ 平面 AEF，只需证：SC ⊥ AE、SC ⊥ EF、SC ⊥ AF 三者中的两个，由于 SC ⊥ EF 是已知，
SC ⊥ AF 则循环回待证式，故应排除它。选择 SC ⊥ AE。
3)、欲证 SC ⊥ AE，只需证： SC ⊥ AE 所在平面 AEF；或 SC ⊥ AE 所在平面 SAB；或 AE ⊥ SC 所在平
面 SAC； 或 AE ⊥ SC 所在平面 SBC。由于 循环回第 1 步，故可排除； BC ⊥ 平面 SAB，而故不可能有 SC ⊥
平面 SAB；因 SA ⊥ 平面 ABC，有 SA ⊥ AB，故 SA ⊥ AE 不成立，所以不可能有 AE ⊥ 平面 SAC；从而应选择
AE ⊥ 平面 SBC。
4)、欲证 AE ⊥ 平面 SBC，只需证：AE ⊥ SB、AE ⊥ BC、AE ⊥ SC 三者中的两个即可，因 AE ⊥ SC 循环
回第 2 步，而 AE ⊥ SB（已知）所以只需证 AE ⊥ BC 即可。
5)、欲证 AE ⊥ BC，只需证： AE ⊥ BC 所在平面 ABC；或 AE ⊥ BC 所在平面 SBC； 或 BC ⊥ AE 所在
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平面 AEF； 或 BC ⊥ AE 所在平面 SAB。因 SA ⊥ 平面 ABC，所以不可能有 AE ⊥ 平面 ABC；又因 循环回第
3 步，故可排除 ； 与第 1 步相矛盾，也可排除它。从而选择 BC ⊥ 平面 SAB。
由已知 SA ⊥ 平面 ABC 得 BC ⊥ SA，又 BC ⊥ AB，可得 BC ⊥ 平面 SAB 成立。从而命题得证。
二、从待证式的结构入手，并注意待证式和已知条件的衔接．探索使结论成立的充分条件。
例 2．已知 a ， b ， c ∈ R ，且 a + b + c
+
= 1 ，求证： a + b + c ≤ 3
分析：待证式结构为根式，故以消去根式为切入点。
证明如下：欲证
只需证
a+ b+ c≤ 3
(
a+ b+ c
) ≤ ( 3)
2
2
只需证 a + b + c + 2(
（注意到已知条件1 =
ab + bc + ca ) ≤ 3
a+b+c）
只需证 a + b + c + 2(
ab + bc + ca ) ≤ 3(a + b + c)
a + b + c) ≥ 0
只需证 2( a + b + c ) − 2(
只需证 (
a − b )2 + ( b + c )2 + ( c + a )2 ≥ 0
因为最后一个不等式是成立的，所以原不等式成立。 应用分析法时应注意的两个问题:http://www.youerw.com/jiaoxue/lunwen_664.html