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孤立波最早是由Russell于1844年研究单向运动的浅水波时发现的。最开始这一概念用于描述能长时间保持稳定的的一种具有单个波峰的钟型行波，后来又引申到由多个钟型组合而成的波形以及包络型、扭结和反扭结等具有类似性质的情形[5]，如图1所示。1895年，Korteweg和de Vries得到了能解释长波条件下浅水中孤立波现象的动力学方程，即著名的KdV方程[6]。由此可以认识到其本质是非线性波，而且相遇时不再适用简单的线性叠加原理，因而需要另外建立理论来加以说明。该问题虽然在当时没有引起广泛关注，但是在此以后的研究中，其他领域陆续发现了类似的现象，也使得孤立波又成为研究热点并不断得到新的诠释。1983年，Nesterenko发现在没有预压缩的静态颗粒链的一端施加冲力并使其以相互碰撞的形式沿颗粒链传播，就能观察到孤立波的振动波形[7]。这掀起了研究颗粒物质中传播的孤立波的热潮。87823

目前，孤立波已和混沌和分形并称为非线性领域的三大理论[5]，成为学界重点关注的现象之一。其之所以有着具有如此巨大的价值，不仅是因为作为有最早研究的非线性现象之一有着开创性的意义，还由于其表现出的许多独特的具有兼具理论和应用价值的优美特征。一般的非线性行波的波形都会随时间不断变化，要么是由于非线性项而变陡峭，要么是由于色散而变平缓，而在孤立波中两者恰好能够相互抑制，使其波形能够长时间保持稳定。另外，两列孤立波虽然在碰撞时发生交融而无法分辨，但在碰撞区之外波形和波速不会发生变化，而且在碰撞后很快就会分离，并依然能够保持原先的速度以及波形。上述现象尽管未必严格成立，却使用经典的粒子模型来描述波的某些相互作用成为可能，即孤子的概念应运而生。这也对其他领域的研究产生了深远的影响。光学上引入的所谓光孤子的概念[8]，也说明该现象的普遍性和深刻性。论文网

其中不得不提到1955年Fermi、Pasta和Ulam等人通过实验观察到有关孤立波的奇特现象，即轰动一时的所谓FPU佯谬[9]。当时将一根均匀的弦两端固定，并在初始时刻给予其一定的能量使之振动。在弦间作用力为线性的情况下，把弦均分为一个一个的小段来考虑，那么运用晶体学中的知识可知，存在在无外界干扰下运动状态能一直保持下去的单一频率的振动模，且模式数与细分的小段数量有关。如果假设弦间还有非线性力，能量就会从一个模式流入其他模式，使单一的振动模无法保持，且根据能量均分理论，经过相当长的时间后，各振动模所具有的能量应该相等。然而，研究表明虽然单一振动模的确无法保持稳定，但是只有若干模式被激发出来，更令人惊奇的是，经过固定的周期又会回复到原先单一的模式，如此不断循环。这也表明非线性系统不只是杂乱无章的代名词，而是有内在联系的，颠覆了对这一概念的传统认知。利用孤立波的概念可以对问题给出满意的解释，即把非线性作用表示为若干列波幅不同的孤立波后，根据其速度可以求解出符合实际的汇聚时间。由此可见，孤立波能够揭示一些非线性现象的本质。

但在同时，必须认识到目前对孤立波的了解还很片面和肤浅。例如，两列孤立波碰撞时，重叠处的高度低于碰撞前较高的一个，这与以往所熟知的现象大相径庭，其精确的规律也难以捉摸。此外，碰撞后轨道出现的相移也表明了这一问题的复杂性[10]。由于该领域的非线性表现更加显著，至今仍有许多悬而未决的地方。总体来说，主要问题在于现有理论难以全面并精确地反映问题，使得理论和实验结果之间存在一定距离，而且无法体现碰撞的细节过程，对一些物理现象无法作出适当的解释。 (责任编辑：qin)