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1关于空间观念发展规律的研究

皮亚杰作为儿童心理学、发生认识论的开创者，他提出的认知发展理论具有重大意义，对认识人类认知发展做出了重要影响。他在几何的认知方面也有所研究，并提出来儿童几何认知的发展规律。 皮亚杰从儿童心理学和发生论的角度研究空间、几何概念的形成和发展，他将儿童的几何认知水平发展分为三个阶段。皮亚杰和英海尔德还认为儿童的空间表征随着年龄的增长，有一个从静态空间感知到动态概念空间的发展过程。 在儿童的认知发展水平上，皮亚杰将其分为四阶段，他认为所有的儿童都会依次经历这四个阶段。前一阶段是达到后一阶段的基础，每个阶段的顺序具有不可替换性。同样的，他认为儿童几何认知水平的发展也具有阶段性，并将其分为三个阶段随着年龄的增长而变化：第一阶段：拓扑学概念阶段（4岁前）；第二阶段：射影几何学概念阶段（4-6岁）；第三阶段：欧几里得几何学阶段（6-8岁）。85296

范希尔理论是几何思维研究中最具有影响力的理论之一。范希尔夫妇是荷兰的一线数学教师，他们发现几何教学中存在很多问题。他们认为教材和作业中所要求的语言和专业知识远远超过了学生的思维水平。范希尔夫妇通过一系列的研究，结合皮亚杰的几何认知理论，提出了几何思维的5个层次。

第0层次：可视化（visualization）

处于该几何思维层次学生对图形的认识是依赖与图形的整体外观的，也就是图形的视觉特征。学生辨别图形不是根据图形的本质特征，只是根据视觉特征。当呈现一个旋转过的三角形（变式图形），在学生的眼中，这个图形的角度发生了改变不同于标准图形，所以这就不是一个三角形了。论文网

第1层次：分析（analysis）

在该思维层次的学生对图形的认识已经变为对一类图形的认识，而非一个图形。他们能够对一类图形具有的特征进行讨论分析，并把具有相同的特征的图形进行简单分类，并用这些相同的特侦辨别判断图形。但事实上，处在这个思维层次的学生并不能真正的掌握不同类图形之间的本质区别，对类与类之间的关系无法理解。

第2层次：非形式演绎（informal deduction）

当学生开始能够区别一类图形的本质特征时，他们就逐渐进入了非形式演绎阶段。他们不仅能够区别物体的本质特征，而且能对一类图形的性质进行观察、思考。但是对图形性质的思考都处于一个比较直观的水平。

第3层次：形式演绎（deduction）

学生在该层次掌握一类图形的性质并进行思考，更多的是进行简单的形式逻辑演绎推理证明几何定理。他们了解了公理、定理的意义，并了解了几何证明的重要性。他们根据自己已经学过的公理、定理，对一类图形的性质进行演绎推理证明。

第4层次：严密性（rigor）

作为几何思维水平的最高层次，第4层次包含了前4个层次的思维水平，不同的是能够在不同的公理系统中严谨地建立定理，并能够分析不同公理系统之间的区别。这已经是一个专门从事几何研究的数学家的水平了。

皮亚杰和范希尔的研究成功共同说明了学生的几何能力是随着年龄的增长按照阶段性顺序提高的。每个阶段之间学生的几何思维水平是完全不同的。

在二十世纪，随着各个国家越来越重视几何内容的学习和能力的培养，引进范希尔理论，并以范希尔理论为指导编写几何教材。范希尔理论既可以用于判断学生的几何思维水平，又可以为展开适合学生思维水平教学活动的设计提供依据。 (责任编辑：qin)