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这种因式分解法在19世纪80年代提出的超对称量子力学（supersymmetricquantummechanics）中又得到了进一步发展。其实可以认定，大部分的束缚态问题，它都是有阶梯解法的。运用阶梯解法时，一般只涉及解一个简单的一阶微分方程，而且它的本征值谱也更加容易求得。同时，运算就会代数化，兼并来源也会更加清楚。来自优I尔Y论S文C网WWw.YoueRw.com 加QQ7520~18766

大家学习量子力学以及解题时，时常会看到阶梯算符的影子，但并没有系统地去学习这个知识点，在课堂学习中只是作为一个工具，或者在学习谐振子时被提到。而在实际解题过程中会发现，在使用阶梯算符以后，解题过程确实被大大简化了。但是大家常常会感到，教科书中阶梯算符的引入比较突兀，似乎完全是凭借熟练以后的计算经验以及技巧而得来的。所以我们做题时用到阶梯算符时并没有固定的思路，有时候能通过做过的题来进行类比解答，但大多数时候则思路比较混乱，不能把握解题要点。因此，阶梯算符的运用是一个很有意思的研究方向。这一研究对于以后做题有很大帮助，也能为之后学习量子力学打下坚实的基础。所以，对于上述出现的问题，本文介绍了构造阶梯算符的较为通用的简便方法，可以为解题提供一个定向的思路，不至于做题时没有方向。同时，本文也系统整理并探讨了阶梯算符的几种主要应用，并且在运用较多的谐振子问题上举了例题，以强化理解与运用。

2 阶梯算符的构造方法

这里证明一个构造阶梯算符的定理：如果G为厄米算符F的本征值的阶梯算符，则符合下列对易关系

F，G=λG（2。1）

且λ为非零实常数[2]。证明：设ψ

是力学量算符F的本征函数，相应的本征值为fn

，因为G为

阶梯算符，则Gψn也是F的本征函数，相应的本征值为fn+λ，λ为非零实常数。于是有

Fψn=fnψn

FGψn=fnGψn+λGψn=（fn+λ）Gψn

F，Gψn=（fn+λ）Gψn-Gfnψn=λGψn（2。3）即F，G=λG，证毕。

下面解决给定厄米算符F后，如何根据算符G满足的关系式（2。1）得出G的具体形式的

问题。由两个厄米算符的对易式是反厄米的，即

+

F1，F2=-F1，F2（2。4）

厄米算符与反厄米算符的对易式是厄米的，即

+

F，A=F，A（2。5）

以及式（2。1），可以看出G既不是一个厄米算符，也不是反厄米算符。根据，任意一个线性算符L总可以分解为一个厄米算符与一个反厄米算符的叠加，我们可以把阶梯算符G分解

为一个厄米算符与一个反厄米算符的和，即

G=F1+iβF2（2。6）其中，F1和F2是厄米算符，β为非零实常数，所以

F，G=F，F1+iβF，F2（2。7）论文网

于是，由式（2。1）和式（2。7）可知，

G=F，F1/λ+iβF，F2/λ（2。8）上式中，右边第一项为反厄米算符，第二项为厄米算符，对照（2。8）式和（2。6）式可知

F，F1=iβλF2=iαF2（2。9）

F，F2=-iλF1/β=-iγF1（2。10）

其中

α=βλ，γ=λ/β（2。11）两者均为非零实常数。通过式（2。9）（2。10）（2。11），就可以确定F1、F2和β，把它们代入（2。6）式就可以求出阶梯算符G。

可以看出，当能够找到满足式（2。9）（2。10）的算符F1和F2时，力学量算符F本征值的阶梯算符G一般就会存在。