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在符合麦克斯韦-波尔兹曼统计的原子气体中，存在显微组织的大量能量或动量状态的连续体，即占据任何一种状态的粒子数量是颗粒总数的很小一部分。只有在T=0是基态，ϵ=0被所有颗粒宏观地填充。然而，爱因斯坦表明，对于相同玻色子的气体，宏观占据基态，与气体中的颗粒总数相当，可以在有限的非零温度下发生。这个相变是BEC。对于统一的空间—没有空间变化的电位，BEC的通常推导如下。方程式(1)显示如果μ=0那么N¯¯0，占用状态为ϵ=0，发散。N¯0¯称为冷凝物。当通过对所有状态求和来评估化学势，这个术语由于其可能的分歧行为而被分离出来这个总和在三维空间中有界限，可以通过将其转换为积分来进行评估，您可以执行此操作，因为自由粒子状态非常紧密地间隔，因此在半经典逼近中，我们可以转到连续模型。注意到状态数等于相空间体积除以h3，我们有对于有限的，负的，所有的状态大致相同，并在显微镜下填充。但是考虑当添加更多粒子时，在恒定T和V下的系统会发生什么。随着N的增加，m必须通过向零增加来调整。现在对于μ=0，方程式6中的第二项可以评估为积分值为2.612π/2。对于任何给定的V和T，当μ接近零时，积分趋近于其最大值，并且等式6中的N∗不能进一步增加。此时，T表示临界值Tc，其中添加更多颗粒导致新的行为。写密度为n=NV，我们有现在假设你添加更多的粒子到系统。如何进一步调整？答案是通过扩大冷凝水的表达来发现的在N/V保持恒定的热力学极限（N→∞，V→∞）中，μ接近零为1/N。因此，作为μ→0，N¯¯0以非常受控的方式被宏观占用;随着更多的颗粒被添加到Tc以下，它们都进入N¯0¯。μ和N¯0¯的行为如图1所示。同样地，N和V可以保持恒定，T降低到Tc以下，使得上述冷凝物颗粒N*转移到冷凝物。气体被分成两组颗粒，即N¯¯0-冷凝物和非冷凝颗粒，有时被称为“降低”或“正常”颗粒。

1.2变分法的基本概念

1.2.1泛函的概念

设S为一函数集合，若对于每一个函数x(t)S有一个实数J与之对应，则称J是定义在S上的泛函，记作J(x(t))。S称为J的容许函数集。