同时，对于同一不等式，在不同的数学情境中可以具备多重含义。故而，其证明的方式也具有多样性和灵活性。因此，以下将主要从常用不等式证明方法归纳以及不等式一题多解更要妙解两个方面来叙述不等式证明方法。

二、不等式证明方法

不等式的证明，实际应用广泛、在各级各类考试中也常有出现；方法繁多，涉及数学的多个方面。学生通过课本知识就能接触到比较法、分析法、数学归纳法、反证法、换元法等基础方法。但不等式的证明方法远不止这些，还有许多方式不常用但精妙绝伦。因此，不等式的证明方法需要系统化的整理。论文网

2。1比较法

运用比较法证明不等式即比较不等号两边式子的取值大小再得出结论。比较法可以分为作差比较法和作商比较法。比较法是证明不等式时最基础也是最常用的一种方法。

2。1。1 作差比较法

作差比较法是用等号一边的式子减去等号另一边的式子得到一个新的式子，再综合运用因式分解、著名不等式等方法来判断这个式子的取值范围并与0相比较，最后得出结论。

例2。1。1 （北师大教材选修2-2， ）若 ，且 ，求证：

证明： 因为             ，且 

所以  所以  即                         

2。1。2 作商比较法

作商比较法需要先判断不等号两边式子的正负号。当两边异号时可以直接的出结论；当两边同号时，用不等号一边的式子除以另一边的式子再运用不等式的基本性质求出该式子的取值范围与1相比较，最后得出结论。

例2。1。2 （初等数学研究， ）设 ，求证： 

证明：由于在不等式中 对称，不妨设 ，

则 ， 所以  即                         

注。 比较法的关键在于解题者能通过一定的规则判断出作差结果与0的大小比较（或判断出作商结果与1的大小比较）。

2。2 综合法

综合法就是“由因导果”的一种证明方法。即从不等式中已有的条件出发，运用不等式的性质以及相关的定理等已知的知识逐步推导出未知的结论的方法。总之，综合法就是“由已知推未知”的一种证明方法。

例2。2 （2010，福建） 为互不相同的正数，且 ，求证：文献综述

证明：        因为 ，且 为互不相同的正数，所以

即   注。 综合法往往需要解题时思路清晰、目的明确，能找到通过已知条件推导出不等式结果的途径。但很多情况下，通过这种正向思考的方法较难找到解题的途径。

2。3 分析法

与综合法相对应，分析法是“执果索因”的一种证明方法。顾名思义，分析法要求从不等式的结论出发寻找使得该不等式成立的充分必要条件，一步步将不等式的求解转化为显而易见或较容易证明的结论。值得注意的是，在分析法的求解过程中需要严格按照分析法的格式要求来证明结论（即“要证……只需证……”）。