（2） f 在(a,b)内可导； 则在(a,b)内至少存在一点，使 f () 

柯西中值定理 1：

设函数 f 和 g 满足：（1）在闭区间[a,b]上连续；

（2）在开区间(a,b)内可导；

（3） f ( x) 和 g(x) 不同时为零；

（4） g (a) g (b) ；

则存在a, b，使得  f  f bf a

2 中值定理中辅助函数构造法

从上一章中我们已经了解到了三个中值定理和辅助函数构造法，就是为了使 某一命题或者概念通过已知的数学基础知识，人为的构造出函数，这些函数的构 造，往往依赖于已知命题的结论的存在，在条件的约束和中值定理下，去证明或 者说明某种结论或概念的正确性。在本章中将讨论关于中值命题证明中辅助函数 构造的方法，归纳十种比较常见的方法，并在具体的题目中运用所给出的方法， 加深对这些方法的理解。

2。1 几何直观法论文网

在数学中数形结合是解题时的一种重要手段，而几何直观法就是在几何图形 中两函数在区间端点处函数值的数量关系，从而构造出恰当的辅助函数。

例 2。1 若 gx在[0,1]上可导，且 0 gx1 ，对于 x 0,1，都有 gx1， 试证在(0,1)内有且仅有一点，使 g。

图 1分析 我们从图 1 中可以看出，直线 y x 与曲线 y gx必有交点，设这个 交点的横坐标为ξ，恰满足 g。又由图 1 可知，对在[a,b]上的同一自变量 x ，直线与曲线的纵坐标之差构成一个新的函数 Gxgxx ，由此找到所需 要的辅助函数。

证明 构造辅助函数

Gxgxx ，

Gx在[0,1]上连续，且

G0g00 , G0g11 0 ，

由介值定理知，至少存在一点0,1，使得

Gg0 ，即 g。 再证唯一性，用反证法，假设存在两点 x1 , x2 0,1，有

gx1   x1 ， gx2   x2

在区间 x1 , x2 上运用拉格朗日中值定理有

g   gx2  gx1   1文献综述

x2  x1这与 gx1矛盾，故假设不成立，故结论成立。

但是在运用几何直观法时要注意，这种方法只对一阶导数及几何意义明确的 微分题目。

2。2 原函数法

此方法是一种逆向思维的方法，把结论变形，从而求出原函数作为辅助函数， 主要步骤如下 2：

（1）将结论中的中值换为 x ；

（2）通过将结论恒等变形化为易于消除导数符号的代数式；

（3）用观察联想法或不定积分法求出原函数；

（4）得出的结果使其一边为常数 C ，则另一边就是所要构造的辅助函数