2。2 收敛性与收敛阶

迭代公式产生了一个序列 ，如果这个序列 的极限存在，即存在 ，则称这一序列 收敛或者迭代公式 收敛。否则，就称序列 发散或者迭代公式 发散。

定理1。1  (迭代法收敛性定理)[2]假设方程 的有根区间是 ，迭代函数 要符合下列两个条件:

(1)对任意 有 ；

(2)存在一个正数L<1，使对任意 有 ；论文网

则对任意初值 ，迭代过程 都收敛于方程 的根 ，即   ；误差事后估计式是 。

但是该定理的局限性是在较大的有根区间上很难保证迭代的收敛性，所以通常在根 附近需要考察它的收敛性。

定义1。1  迭代过程在根 附近具有局部收敛性，是指假如存在邻域 : ，迭代过程 对任意初值 都收敛。

定理1。2  (迭代法局部收敛性)[2]设 在方程根 附近存在连续一阶导数并且 ，则称迭代过程 具有局部收敛性。

一般衡量一个迭代算法是否有应用价值，除了要保证其收敛之外，还需要考虑其收敛速度。收敛速度是指接近收敛时迭代误差的下降速度，记迭代误差  为第 次迭代所产生的误差。

定义1。2  设迭代公式 产生的迭代序列 收敛于方程 的根 ，如果存在实数 和非零常数 使得 ,则称迭代过程或迭代序列  阶收敛。

一般地， 称为线性收敛， 称为平方收敛， 时称为超线性收敛， 越大收敛的速度越快， 的大小决定了迭代序列 收敛速度。

注:当 时， 的范围必须是 ；规定 来定义 阶收敛性，如果 ，则可理解为迭代的收敛速度比 阶要快，称为超 阶收敛。

3 牛顿法

3。1 牛顿法及其收敛性

（一）牛顿(Newton)法

牛顿迭代法(Newton's method)又可以称为牛顿一拉夫逊方法(Newton-Raphson method)，17世纪时，是由牛顿提出的为了解决在复数领域和实数领域近似求解方程的方法。

1。牛顿(Newton)法是求非线性方程 的根的重要方法之一，它的思想是将非线性方程转化成线性方程，然后求解根。

假设 连续并且可微，下面把 在初值 处泰勒展开：

只要 ，取其线性的部分来近似替代 ，就可以得到 的近似方程:

即为再用迭代法的思想将上式左端 记作 ，可以得到

一般地有 ，于是称其为牛顿迭代公式(假定 )。

牛顿迭代法的几何意义是:当取初始 值后，以 为切点作切线，从 

开始不断的通过切线方程的迭代，使 不断的向 逼近，如图一

图一 牛顿迭代法的几何意义

例1  解方程：  精度取 。

解  牛顿迭代公式是： 。

取初值 ，迭代结果如下表文献综述

相同的精度如果用不动点迭代法需要迭代17次，相比较而言，牛顿法的迭代速度是很快的。

（二） 牛顿迭代法的收敛性

关于牛顿法产生的迭代过程[4]

           。

(1)当 为 的单根时，牛顿法为二阶收敛，即为平方收敛；

(2)当 为 的 重根时，牛顿法为一阶收敛，即为线性收敛；

证明:（1）方法一:

 在 点处的泰勒展开式为

 ( 在 和  之间)，

在上式中取 ，则有，

解得 （ ）,

即有误差关系

又由 和 的连续性及 为 的单根(可知 )                       

于是由①式得