2 灰色模型

2。1 灰色系统理论的产生及其发展论文网

灰色系统理论，是由华中科技大学的控制科学与工程系教授，博士生导师邓聚龙提出的，在1982年，他发表了一篇名为《灰色控制系统》的中文论文，这就是灰色系统诞生的标志[2]。在控制论中,色彩的深度可以用来直观表示信息的清晰度,比如艾什比(Ashby)把内部信息未知的对象称为黑箱(BlackBox),人们已经普遍接受了这种说法。所谓的白色系统，就是指内部都是已知的、确定的、完整的系统，内部的信息非常充分。相反，黑色系统，就是指内部是未知的、不确定的、非常不完整的系统，内部的信息对外来说是一无所知。而介于“白”和“黑”之间的，就是“灰”，我们经常遇到的信息，很多都是一部分已知、另一部分未知，一部分确定、另一部分不确定，一部分完全、另一部分不完全，这种系统所对应的就是灰色系统[3,4]，对含有不确定因素的系统进行预测，我们就可以用灰色预测法。

灰色系统理论是建立在一般理论的基础之上的，在预测时，灰色模型不需要大量的数据样本，对样本的要求也低，不需要有规律性，模型计算简便，检验方便，预测结果比较准确，精度相对来说也较高，而且适用于中长期的预测，可以说灰色理论在很多情况下都是非常便利可取的。在过去的二十多年里，灰色系统理论已经发展成了系统科学的重要组成部分，并且取得了很大的进步，该理论的应用范围也逐渐拓展到很多领域[5]，在金融上,可以预测公司的净现金流量等科目；在生态上，可以预测中国未来的人口数量；在气象上，可以预测大气污染情况等等。灰色系统理论合理地、有效地解决了社会生产、人民生活和科学研究中的诸多实际问题。

2。2 灰色系统理论的概念

灰色系统理论的研究对象为一部分信息是已知的、另一部分信息是未知的系统，也就是对有一定变化范围、和时间有关的系统进行分析和预测，该系统的主要特点是“样本小、信息少、不确定性比较强”,该理论则是主要通过对已知的这一部分信息进行加工和开发,分析出各因素的发展趋势、关联程度，对该系统的整体变化规律进行正确的描述，利用生成的数据，建立合理的微分方程模型，从而预测该系统的未来发展趋势[6]。

灰色系统理论里，最常用的是GM(1,1)模型，这是一种单序列模型，它不涉及其它的外生变量，只通过系统的内在规律对未来的趋势进行预测。因为其对原始数据序列没有什么限制，因此应用范围较为宽广。

2。3 灰色模型的建模原理文献综述

建立GM模型的步骤如下，首先将原始数列经过一次累加生成后，建立一个相对应的微分方程模型，所建的模型就称为灰色模型，简记为GM（Grey Model）。GM（m,n）称为m阶n个变量的灰色模型，GM（1，1）模型则是GM（1，n）模型的特例，它是灰色系统里最为基本的模型，并且是很常用的一种预测模型[7]。

(1)首先设原始时间序列为：

(2)设 为 的一次累加序列：  (3)GM（1，1）模型的微分方程形式是：

利用常数变易法解得，通解为：

式中， 称为发展灰数， 称为内生控制灰数。

(4)用 计算GM(1,1)模型参数 、 。

令 ,利用最小二乘法，

则有：(5)将计算得出的灰色参数代入以下式子：         

(9)(6)对9式求导还原可得最终预测模型：

(10)

2。4 灰色模型的三大检验方法

灰色预测检验分为三种方法，分别为残差检验、关联度检验以及后验差检验。只有在三种检验全部都同时通过的前提下，该模型才算合理。 基于GM（1,1）的淮安市教育支出预测模型(2):http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_200600.html