换元法在数学解题中的应用

摘要：换元法是一种重要的数学思想方法，在数学解题中有着广泛的运用．本文结合具体实例，探讨了换元法在代数计算、因式分解、解方程、三角函数、不等式证明、极限及导数计算等方面的应用．

毕业论文关键词：换元法，因式分解，三角函数，极限，导数 93366

Abstract:Substitution method is a kind of important mathematical thinking method, it has been widely used in solving mathematical problems。 In this paper,we discuss the application of substitution method in computing, algebraic factorization, solving equations, trigonometric function, inequality, limit and derivative calculation by some specific examples。

Keywords：Substitution method，Factorization，Trigonometric function，Limit，Derivatives

1 引言4

2 换元法在数学解题中的应用4

2。1 换元法在代数计算中的应用4

2。2 换元法在因式分解中的应用 5

2。3 换元法在解方程中的应用6

2。4 换元法在三角函数中的应用8

2。5 换元法在不等式证明中的应用 9

2。6 换元法在求极限问题中的应用 9

2。7 换元法在导数计算中的应用11

结论12

参考文献13

致谢14

1 引言论文网

换元法是一种重要的数学思想方法,它就是指在数学解题过程中，把某个式子看成一个整体，用一个变量去替代它，从而使得问题得到简化．换元的实质就是转化，关键在于构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是为了变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使得非标准型问题标准化、复杂问题简单化，让问题变得容易处理．换元法在数学的许多领域都有广泛的应用．目前，关于换元法的文献不少[1-9]，但是对换元法在数学解题中的应用进行较为系统的探讨与研究仍是很有必要的．本文主要探讨了换元法在代数计算、因式分解、解方程、三角函数、不等式证明、求极限以及导数计算等方面的应用．

2　换元法在数学解题中的应用

2。1 换元法在代数计算中的应用

我们经常会遇到一些比较复杂的代数计算问题，如果直接按照原代数式给出的原始运算关系求解，可能会出现十分复杂的运算过程，有时候甚至还可能无法解出答案，十分棘手．但是，对于代数式中一些具有共同特征的独立部分，如果用一个新的变量去代替，就能够使得原代数式得以简化．在求出新变量的结果后，将其代入原被代换的独立部分中便可求得原问题的解，这样处理便使得原代数式的运算过程变得十分简单便捷[1]．

例1 计算．

分析对于这样一个根号下带根号的复杂的代数式，如果直接求解肯定比较麻烦，我们对其进行换元处理．令

对其两边同时立方，得

又因为无实根，所以解得

注这里运用到了整体换元的思想，即把题目中要计算的代数式的整体进行换元，求得所设的元也就求得了要求的代数值的值．

例2 求的值．文献综述

分析这是一道复杂的数字运算问题，若对原式进行直接运算，无疑是十分复杂，但

这里倘若是采用换元处理后，运算就简便多了．

　　　　　　．

注这里运用到了部分换元的思想，即把题目中相同或者类似的部分进行换元，从而使代数式得到简化．

2。2 换元法在因式分解中的应用

在一些复杂的多项式的因式分解问题中，如果把其中某些部分看作一个整体，用一个新的字母去代替，即换元．不仅可以使得原多项式得到一定的简化，而且能使得式子的特点更加明显，我们只要对换元后的多项式分解因式，最后将“新字母”换回原来的式子，即得到原多项式因式分解的结果．换元法在数学解题中的应用:http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_201188.html