上一节我简单的介绍了凸函数的3种定义，运用定义来来判别函数的凹凸性，是最基本的判别方法，也是其他判别法的理论基础，所以本文所以的研究都是在于我们对凸函数定义的理解基础上进行的，至关重要。

2。2。2  函数凹凸性的判定定理

定理   为 上的函数，若对于 上的任意三点有 ，有 ，总有：

  ,则 为 上的凹函数，反之为凸函数。

2。2。3  函数凹凸性的充要条件 

 设函数 在 上连续，在 内具有一阶和二阶导数，那么，

（1） 有 在 上的图形是凹的。文献综述

（2） 有 在 上的图形是凸的。

3  保持函数凸性的几种变换

3。1  变换

    数学中的变换是指一个图象到另一个图象的转变，或者一个表达式转变成另一个表达式。图象变换是一种作图的手段。对于我们，首先了解原函数图象，画出原函数的图象，通过一种变换或者多种变换，得到另一函数的图象，这种作图方法叫做图象变换。

3。1。1  数学中的定义

1  设 为非空集合, 到自身的一个映射 ： → 称为集合上的一个变换。

2  设 和 是两个非空集合，若存在着一个 到 的对应关系 ，使得对 中的每一个元素 都与 中唯一确定的元素 对应，则称 是 到 的一个映射，记做 。