解  设 ,数列 是严格增加的,且 。故由施笃兹公式得

  = 

例3  设 ,求 。

分析  这道题目与上一道题目很相似，其中数列 是严格增加的,并且 ,满足施笃兹公式条件。但是直接利用施笃兹公式来求解极限是算不出来的,观察数列 的形式,此时应该将数列 分为奇子列和偶子列来讨论。

 解  数列 的奇子列和偶子列分别为 , 。由数列 是严格增加的,并且 。则数列 和数列 都满足施笃兹公式条件。那么由施笃兹公式得

 。同理可知, 。

则数列 的奇子列和偶子列都收敛于 ，那么  。

通过上面两道例题,我们可以知道,如果想利用施笃兹公式求解递推型数列的极限,首先一定要满足施笃兹条件。在上面的题目中,我们通过递推关系求数列通项或者直接利用施笃兹公式求解极限。事实上利用这种方法求解递推型数列的极限的题目是比较简单的,下面我们论述利用存在性求极限。