性质4 若 是可逆矩阵,则 也是可逆矩阵,且 。
3 矩阵可逆的若干判别方法
3。1 定义判别法论文网
设 为 级方阵,如果存在 级方阵 ,使得 成立,那么 是可逆的,
且 。
定义判别法主要用于判别一些简单矩阵和非具体矩阵是否可逆。
例1 设方阵 ,求证: 可逆,并且 。证明 由 得同理可证 。
故 可逆,且 。
注 当 不是具体矩阵时,用定义判别简单有效。 证明 是 的逆矩阵时,验证 成立,是最直接的方法。
3。2 行列式判别法
定义3 设 是矩阵
中元素 的代数余子式,矩阵
称为 的伴随矩阵。
利用行列式展开公式得 。
引理1[1] 级方阵 可逆的充要条件是 ,且当 时, ,其中 是矩阵 的伴随矩阵。
例2 判断矩阵
是否可逆?若可逆,求出逆矩阵。
分析 先用行列式不为零判别矩阵是可逆的,再利用伴随矩阵求出逆,这种方法比较适合二阶、三阶矩阵。
解 因为所以 可逆。又因为所以例3 设 分别为 级正交矩阵,且 ,求证 + 为不可逆矩阵。
分析 证明矩阵不可逆,题目中给出的条件也与行列式有关,很自然地想到证它的行列式等于0。 可以先利用正交矩阵的定义,将矩阵 + 拆成乘积形式,再取行列式,根据行列式的性质,就能给出证明过程。
证明 因为 分别为 级正交矩阵,由正交矩阵的定义知, , ,则 ,
两边取行列式得 ,
由行列式的性质有 ,
又因为 ,所以文献综述
由 可得又因为 ,所以 ,故 ,这样就得到了 ,
故 + 是不可逆矩阵。
推论1 设 为 级方阵,若 或 ,则 均为可逆矩阵,
且 , 。
证明 若 ,两边取行列式, ,故 ,因此 均可逆。
将 两边左乘 ,得到 ,所以有 。 同理可证 的情况。
例4 设 ,若有 可逆,求证: 也可逆,并求其逆。
可逆矩阵的判定及其简单应用(2):http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_202251.html