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可逆矩阵的判定及其简单应用(2)

时间:2024-02-24 21:08来源:毕业论文
性质4 若 是可逆矩阵,则 也是可逆矩阵,且 。 3 矩阵可逆的若干判别方法 3。1 定义判别法 论文网 设 为 级方阵,如果存在 级方阵 ,使得 成立,那么 是

性质4  若 是可逆矩阵,则 也是可逆矩阵,且 。

3  矩阵可逆的若干判别方法

3。1  定义判别法论文网

设 为 级方阵,如果存在 级方阵 ,使得 成立,那么 是可逆的,

且 。

定义判别法主要用于判别一些简单矩阵和非具体矩阵是否可逆。

例1  设方阵 ,求证: 可逆,并且  。证明  由 得同理可证 。

故 可逆,且 。

注  当 不是具体矩阵时,用定义判别简单有效。 证明 是 的逆矩阵时,验证 成立,是最直接的方法。

3。2  行列式判别法

定义3  设 是矩阵

 中元素 的代数余子式,矩阵 

称为 的伴随矩阵。

利用行列式展开公式得                         。

引理1[1]  级方阵 可逆的充要条件是 ,且当 时, ,其中 是矩阵 的伴随矩阵。

例2  判断矩阵

是否可逆?若可逆,求出逆矩阵。

分析  先用行列式不为零判别矩阵是可逆的,再利用伴随矩阵求出逆,这种方法比较适合二阶、三阶矩阵。

解  因为所以 可逆。又因为所以例3  设 分别为 级正交矩阵,且 ,求证 + 为不可逆矩阵。

分析  证明矩阵不可逆,题目中给出的条件也与行列式有关,很自然地想到证它的行列式等于0。 可以先利用正交矩阵的定义,将矩阵 + 拆成乘积形式,再取行列式,根据行列式的性质,就能给出证明过程。

证明  因为 分别为 级正交矩阵,由正交矩阵的定义知, , ,则 ,

两边取行列式得 ,

由行列式的性质有 ,

又因为 ,所以文献综述

由 可得又因为 ,所以 ,故 ,这样就得到了 ,

故 + 是不可逆矩阵。

推论1  设 为 级方阵,若 或 ,则 均为可逆矩阵,

且 , 。

证明  若 ,两边取行列式, ,故 ,因此 均可逆。

将 两边左乘 ,得到 ,所以有 。 同理可证 的情况。

例4  设 ,若有 可逆,求证: 也可逆,并求其逆。

可逆矩阵的判定及其简单应用(2):http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_202251.html
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