摘要 本文主要是应用分析、代数的方法讨论了函数的定义域与周期性、三角函数线性组合的周期性、周期函数线性组合的周期性以及积分上限函数的周期性四个方面的问题.对于两个周期函数之和的周期性问题，现有的定理结论没有考虑定义域的影响，导致结论不完善.本文按定义域的异同对两个周期函数进行分类，再讨论其和的周期性，使得结论更加完善.我们还讨论了两个周期函数之和的积分上限函数的周期性，并获得一些新的结论.39642
毕业论文关键词 周期函数；定义域；三角函数；积分上限函数；周期性
目录
摘要..1
1 引言.1
1.1 周期函数的研究背景.. 1
1.2 主要研究问题.. 1
2 预备知识..2
2.1 周期函数的定义. 2
2.2 实数集中的公约数和公倍数.. 2
2.3 周期函数的最小正周期和基本周期.. 5
2.4 周期函数的积分性质.. 6
3 函数的定义域与周期性. 7
4 三角函数线性组合的周期性.. 9
4.1 两个三角函数的和的类型 9
4.2 两个三角函数的和的周期性.. 9
5 周期函数线性组合的周期性 21
5.1 定义域相同的两个周期函数的和的周期性22
5.2 定义域不同的两个周期函数的和的周期性25
6 积分上限函数的周期性.. 26
致谢30
参考文献.31
1 引言
1.1 周期函数的研究背景周期函数是一类特殊而又十分重要的函数，它有着广泛的实践意义和理论价值，已经有许多专家、学者对其进行研究与应用.至于函数的周期性，是一个值得讨论的问题.目前，人们已在这方面做了不少工作，但是还有很多方面有待于进一步研究与发展.王清印和吴和琴[1]在已有结论的基础上，建立了周期代数学的基本概念，并用周期代数学的观点和方法对函数周期性理论加以论述， 特别着重论述了周期函数经过四则运算或复合过程之后的周期性.宣立新和马明[2]用高等数学的思想方法和结论，分析并处理周期函数的有关问题.特别的，还分别对两个连续周期函数、两个存在连续点的周期函数以及定义域相同的两个周期函数的和、差、积、商进行了讨论.至今，关于周期函数的最小正周期和其他的性质与应用也有许多的研究与著作，但还有待进一步研究与发展.到目前为止，有许多研究函数周期性的文章，但是可以发现其中有些定理或结论值得进一步完善，也有很多方面值得进一步研究与发展.本文对其中一些定理或结论进行讨论，并提出一点见解.
1.2 主要研究问题本文所讨论的周期函数均是指定义在实数集的子集上的实值周期函数， 在此基础上讨论了函数的定义域与周期性、三角函数线性组合的周期性、周期函数线性组合的周期性以及积分上限函数的周期这四个问题.这里将通过例子说明函数的周期性与其定义域的关系， 并运用到下面所讨论的三角函数之和的周期性与周期函数之和的周期性的问题上.对周期函数线性组合的周期性的讨论，本文先从三角函数之和的周期性开始讨论，在已有结论的基础上，先将两个三角函数之和进行分类，再对各个类型依次进行讨论.通过对特殊周期函数三角函数的相关性质的讨论，进而对比着研究一般周期函数之和的周期性的相关问题.在讨论两个周期函数之和的周期性时，这里通过定义域的异同将其分为两类：Ⅰ. ) (x f 与 ) (x g 的定义域相同；Ⅱ. ) (x f 与 ) (x g 的定义域不同.对于类型Ⅰ的问题，可在已有结论上加以讨论；对于类型Ⅱ的问题，较之类型Ⅰ的问题更加复杂，以 ) ( ) ( x g x f  为例，由于定义域 ) ( ) ( g D f D 、 不同，必须把两周期函数) ( ) ( x g x f 、 都限制在 ) ( ) ( g D f D  上，这时两个函数的定义域是相同的，但是在相同的定义域上它们未必都是周期函数；并且即使是周期函数，它们的周期也未必是原来的周期等，因此类型Ⅱ的问题很少有较系统的讨论.目前已有一些相关的定理结论，但是通过查阅现有的文章资料，可以发现有些相关结论并不是很完善，尤其对于两个周期函数之和的周期性的问题，目前有许多文章的结论叙述比较片面，不够完整准确.这里将进一步完善现有的定理结论，并加以推广应用.本文最后讨论了积分上限函数的周期性， 结合前面所讨论的周期函数和的周期性的相关定理、积分上限函数与定积分有关知识，讨论了积分上限函数的周期性以及两个周期函数之和的积分上限函数的周期性，并得到了一些新的结论.2 预备知识2.1 周期函数的定义这一章主要介绍了周期函数的相关定义和重要的性质结论， 为讨论函数的周期性提供理论基础.首先，我们来介绍周期函数的定义.许多文章中都有对周期函数定义的叙述，但是有许多传统的定义不具有完备性.为了更好地研究函数的周期性，这里给出一个比较完备简单的周期函数的定义.定义 数周期性的初探:http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_40021.html