2.1 设有函数 ) (x f , ) ( f D 非空,若在 ) ( f D 中存在一个数 0 l ,使得对于任意的 ) ( f D x , ) ( f D l x ,有 ) ( ) ( x f l x f ,则称 ) (x f 为周期函数,l 是 ) (x f的一个周期.很容易看出定义2.1中周期函数的定义比许多传统定义下周期函数的定义更加完备、独立,也满足了周期函数的特点.2.2 实数集中的公约数和公倍数作为研究实值周期函数的必要基础知识,这里首先把实数集上的公约数、公倍数的概念及其一些相关的性质做一简单的论述.定义 2.2.1 设 n , , , 2 1 为n 个不全为零的实数,若存在实数 ) 0 ( ,n 个整数n k k k , , , 2 1 ,使得 ) , , 2 , 1 ( n i ki i ,则称 为 n , , ,
2 1 的公约数,又称n , , , 2 1 是可公度的.因此,若 是 n , , , 2 1 的一个公约数,则 ) 0 , ( m Z mm也是这n 个数的公约数.可见,在实数集中,当n 个不全为零的实数有公约数时,它们就有无穷多个公约数.定理 2.2.1 设 n , , , 2 1 为n 个不全为零的实数, n , , , 2 1 存在公约数的充要条件是:对任意的 ) 0 ( , , , ,2 1 j n j i ,都有 j i 是有理数.证明 必要性 设 是 n , , , 2 1 的一个公约数,对 n j i , , ,2 1 ) 0 ( j , ) 0 ( , j ik k ,使得 i ik , , j jk 故jijijikkkk .充分性 不妨设 0 n ,对 1 , , 2 , 1 n i ,有 N k Z m i i , ,使得,iinikm 从而有.in iikm 又令 0 n 为 1 2 1 , , , n k k k 的最小公倍数,则00nmkn niii ). 1 , , 2 , 1 ( n i 记 iiimknk 0, ) 1 , , 2 , 1 ( n i . 0 ,00 ) ( nn k nn 则有Z ki ,且 ). , , 2 , 1 ( n i ki i 从而, n , , , 2 1 存在公约数 .定义 2.2.2 设实数 n , , , 2 1 是可公度的,若在它们的正公约数中存在最大的,设为 ,则称 为 n , , , 2 1 的最大公约数.记作 ). , , , ( 2 1 n 定理 2.2.2 设实数 n , , , 2 1 是可公度的,则 n , , , 2 1 的最大公约数存在.证明 由定义 2.2.1,设 n , , , 2 1 有公约数 ) 0 ( ,则有n 个不全为零的整数n k k k , , , 2 1 ,使得 数周期性的初探(2):http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_40021.html