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数周期性的初探(2)

时间:2019-09-27 19:18来源:毕业论文
2.1 设有函数 ) (x f , ) ( f D 非空,若在 ) ( f D 中存在一个数 0  l ,使得对于任意的 ) ( f D x  , ) ( f D l x   ,有 ) ( ) ( x f l x f   ,则称 ) (x f 为


2.1 设有函数 ) (x f , ) ( f D 非空,若在 ) ( f D 中存在一个数 0  l ,使得对于任意的 ) ( f D x  , ) ( f D l x   ,有 ) ( ) ( x f l x f   ,则称 ) (x f 为周期函数,l 是 ) (x f的一个周期.很容易看出定义2.1中周期函数的定义比许多传统定义下周期函数的定义更加完备、独立,也满足了周期函数的特点.2.2 实数集中的公约数和公倍数作为研究实值周期函数的必要基础知识,这里首先把实数集上的公约数、公倍数的概念及其一些相关的性质做一简单的论述.定义 2.2.1 设 n    , , , 2 1  为n 个不全为零的实数,若存在实数 ) 0 (  ,n 个整数n k k k , , , 2 1  ,使得 ) , , 2 , 1 ( n i ki i     ,则称  为 n    , , ,
2 1  的公约数,又称n    , , , 2 1  是可公度的.因此,若 是 n    , , , 2 1  的一个公约数,则 ) 0 , (   m Z mm也是这n 个数的公约数.可见,在实数集中,当n 个不全为零的实数有公约数时,它们就有无穷多个公约数.定理 2.2.1 设 n    , , , 2 1  为n 个不全为零的实数, n    , , , 2 1  存在公约数的充要条件是:对任意的   ) 0 ( , , , ,2 1   j n j i       ,都有 j i  是有理数.证明 必要性 设  是 n    , , , 2 1  的一个公约数,对   n j i     , , ,2 1    ) 0 (  j , ) 0 ( ,   j ik k ,使得  i ik  , ,   j jk 故jijijikkkk .充分性 不妨设 0  n  ,对   1 , , 2 , 1   n i  ,有 N k Z m i i  , ,使得,iinikm 从而有.in iikm 又令 0 n 为 1 2 1 , , ,  n k k k  的最小公倍数,则00nmkn niii ). 1 , , 2 , 1 (   n i 记 iiimknk  0, ) 1 , , 2 , 1 (   n i  . 0 ,00 ) (   nn k nn 则有Z ki  ,且 ). , , 2 , 1 ( n i ki i     从而, n    , , , 2 1  存在公约数 .定义 2.2.2 设实数 n    , , , 2 1  是可公度的,若在它们的正公约数中存在最大的,设为 ,则称  为 n    , , , 2 1  的最大公约数.记作 ). , , , ( 2 1 n       定理 2.2.2 设实数 n    , , , 2 1  是可公度的,则 n    , , , 2 1  的最大公约数存在.证明 由定义 2.2.1,设 n    , , , 2 1  有公约数 ) 0 (  ,则有n 个不全为零的整数n k k k , , , 2 1  ,使得 数周期性的初探(2):http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_40021.html
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