矩阵:  设 元函数 在点 处有偏导数,记函数 在 点的 矩阵为 ,且当二阶偏导数是连续的时 是实对称矩阵 .

定理2 （ 元函数极值必要条件）  设 元函数 . ,若在 处可微且取得极值，则有：

  必为 的驻点且 ;

  在 内存在连续的二阶偏导数,且记 在 的 矩阵为 .

 当 在点 取极小值时, 为正定矩阵或半正定矩阵;

 当 在点 取极大值时, 为负定矩阵或半负定矩阵;

 当 在点 不取极值时, 矩阵 为不定距阵.

即当 在点 处一阶偏导数存在时,极值点一定是驻点,但驻点不一定是极值点,当 在点 处一阶偏导数不存在时, 的极值点也可能是 ,即极值点可能是驻点或一阶偏导数不存在的点 .