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第一章 韦达与韦达定理

弗朗索瓦·韦达(1540年－1603年12月13日）,法国数学家,十六世纪最有影响力的数学家之一.他被尊称为“代数学之父”,是第一个引进系统的代数符号,并对方程论做了创新的数学家.正因为韦达做了许多的重要贡献,所以成为了十六世纪法国最杰出著名的数学家之一.

弗朗索瓦·韦达年轻时学习法律当过律师,后从事政治活动,当过议会的议员,在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码.韦达还着力于数学研究,第一个有意识地和系统地运用字母来表示已知数、未知数和乘幂,带来了在代数学理论研究上的重大进步.

韦达从事数学研究只是出于爱好,然而他却完成了代数和三角学方面的巨著.他的《应用于三角形的数学定律》(1579年）是韦达最早的数学专著之一,可能是西欧第一部论述6种三角形函数解平面和球面三角形方法的系统著作.韦达还特地写了一篇论文《截角术》,初步讨论了正弦(sin）,余弦(cos）,正切弦的一般公式,第一次把代数变换应用到三角函数学中去.他考虑含有倍角的方程,具体给出了将COS(nx)表示成COS(x)的函数并给出当n≤11等于任意正整数的倍角表达式了.

在欧洲,韦达被称为“现代数学之父”.韦达最主要的贡献是对代数学的推进,他最早系统地引入了代数符号,推动了方程论的发展.韦达用“分析”这个词语来概括当时代数的内容和方法、创造设立了大量的代数符号,用字母表示未知数,系统地阐述并且改良了三、四次方程的解法,指出了方程中根与系数之间的关系.给出三次方程不可约情形的三角解法.编绘了《分析方法入门》、《论方程的识别与订正》等多部著作.

历史有趣的是,韦达在16世纪就得出了韦达定理,而证明这个定理要依靠代数基本定理,而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论证.韦达不仅首先使用字母表示未知数,而且使用字母表示方程中的系数,使方程的形式极为简洁,近似现代方程的形式.韦达发现方程中根与系数的关系后,发展了解决代数方程的统一方法,并且引入了根的各种变换.

如果一元二次方程 的两个根是 、 ,那么 , .这个定理叫做韦达定理,应用求根公式可直接证明定理成立.但极可惜的是,韦达只取正根,拒绝负根和虚根.其实韦达定理是指一元ｎ次方程根与系数的关系.一元二次方程根与系数的关系只是韦达定理当n=2时的特例.应当指出,韦达定理并不是韦达发现的,他只是就n=2、3等几种情况得出了结论,并没有作出一般的证明.

为了遵从习惯,我们仍把一元二次方程根与系数的关系称为韦达定理.

第二章 韦达定理及其逆定理的证明

韦达常使用代换法来解方程.下面介绍韦达用代换法解一元二次方程 的过程.韦达首先引入 .

代入方程得 ,

整理,得 ①

令 得, ②

将②代入①得, .

即有 .

两侧开方得, .

故 

若令 , ,

则有 , .

这样就得出了韦达定理的表达式.但是要注意这里,由于韦达只承认了方程有正根, 因此,他不可能完全认识方程的全部解,也不可能像上面这样,给出方程的根与系数之间的表达式.只是他的思想非常接近于方程的根和系数关系的思想,尽管如此,后人还是把根与系数的关系叫做了韦达定理,以此来纪念这位伟大的“代数之父”.