摘要本文构造了一个新的变换，称之为 变换，研究了自然数在此变换下的黑洞数问题.首先我们证明了：当 时，任何 位自然数经过若干次 变换必可变为不超过3位的自然数，然后利用这个结论，我们找到了自然数在 变换下的全部黑洞. 即任意自然数在 变换下有且只有2个黑洞，分别是46723

This context constructs a new transformation, called transformation, studied under natural numbers in the black hole of this transform .First we prove that the number of questions: when  , any natural number m bits through several natural number will be transformed into a natural number of not more than three, then take advantage of this conclusion, we found a black hole in the  transformation of all natural numbers under that any natural number in the conversion and only 2 black holes: ， 

毕业论文关键词： 变换；黑洞；黑洞数

Keyword:  transformation；black holes；black holes number

目    录

1. 引言及预备知识 4

1.1. 引言 4

1.2. 预备知识 7

2. 主要结果及证明 9

2.1. 一个重要的引理 9

2.2. 主要结果 9

参考文献 13

致谢 14

1. 引言及预备知识

1.1. 引言

一个著名趣数学的问题中曾提出一个神秘的数字——6174：采取任一一个4位数，但是组成这个四位数的数字不能完全相同，列出这四个数，并将数字按从大到小排列为一个升序和从小到大排列为一个降序，求出这个四位数的降和升序的差值（例如，最初给定的数是4083时，得出8430−0348 = 8082）. 将这个差值作为新的一个四位数进行上述的迭代过程。印度的一位数学家Kaprekar首先给出上述变换中差值的计算过程，并得出最多进行7次这个变换，就会出现一个四位数的迭代固定点，即6174. 6174这个数又被称为四位Kaprekar变换的黑洞数或四位Kaprekar常数[1].

这个奇妙的例子被刊登后，引起了多个大学的研究兴趣，包括著名大学伯克利和麻省理工学院. 受这个例子的启发，其中的一些作者开始采用不同的位数或不同的进位制，研究更广泛意义下的Kaprekar变换的黑洞数问题. 即一个 进制 位数被称为Kaprekar变换的黑洞数或Kaprekar常数，如果它是升序和降序的差运算过程（有时称为Kaprekar变换）得出的一个迭代固定点，和任意一个非平凡的 位数，最终是通过上述迭代运算转化为一个固定点.

1999年，史可富和王明强[4]一起研究了一个关于自然数数码平方和的问题,并得出如下结果:

定义1.1([4]) 对每一个自然数 ，其各位数码平方之和记之为 ，对 ， 的各位数码平方之和记为 那么对于每一n, 都有这样的一列数 ,即数列 .

引理1.1([4,引理1])  当 时，相应数列 满足当 时，

 引理1.2([4,引理2])  当 时，存在足够大的 使 时，

 引理1.3([4,引理3])  对每一 ，通过计算各位数码平方之和可得数列 ，存在 ，当 时，要么 =1，要么 为20,4,16,37,58,89,145,42依次循环出现排列的数.

从以上的三个引理可以推导如下一个关于自然数数码平方和的定理，

定理1.1([4,定理]) 对每一个给定自然数 , 相应数列 存在 .当 时，要么 ，要么 是我们所谈的可交往循环数之一，也即当 时，在我们给出的可交往数中 ,依次循环出现.

2004年，冯国平和雍青康[5]研究了自然数数码和的 次方映射数列的周期性，并得出如下结果:  关于变换数列及其性质的研究:http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_48496.html