二阶变系数齐次常微分方程的求解问题

摘要：本文研究的是二阶变系数微分方程解的问题，主要讲了化为常系数法、降阶法、幂级数解法、以及将其化为Riccati方程等方法.并例举了一些实例,结合例题更好的掌握其求解方法. 48530

毕业论文关键词：变系数方程;降阶法;幂级数解法;Riccati方程

The Second Order Variable Coefficient Homogeneous Ordinary Differential Equations to Solve The Problem

Abstract：This article studies the problem of second order variable coefficient differential equations. This paper studies the problem of second order differential equations with variable coefficients, mainly about into a constant coefficient method, order reduction method, power series solution, and it into a Riccati equation method. And illustrates some examples, combining with examples, better grasp its solving method.

Keywords: Variable coefficient equation; Order reduction method; Power series solution; Riccati equation

摘要 4

引言 5

1. 常微分方程的基本概念 6

1.1 常微分方程 6

1.2 高阶微分方程 6

1.3 线性微分方程 7

1.4 齐次微分方程 7

2.二阶变系数齐次常微分方程的求解方法 8

2.1常系数化法 8

2.2Riccati方程 12

2.3 降阶法 15

2.4 幂级数解法 16

结束语 19

参考文献 20

致谢 21

二阶变系数齐次常微分方程的求解问题引言常微分方程作为一门重要的学科，在各个领域中都有广泛的应用.特别是关于如何求其解，成为越来越多的人关注的焦点.

我们知道，对于常系数微分方程我们是比较容易求得其解的，但对于变系数的微分方程，迄今为止没有找到一致的办法.它的难点主要在于它的系数是关于自变量的未知函数.但对于某些特殊类型的方程可以根据其特点,进行求解.将变系数转化为常系数进行求解, 这是数学中常见的数学思想的转化. 文献[10][11]讲解了变系数方程是如何转化为Riccati方程, 如果知道一个方程的特解, 那么它的通解就可以用这个特解表示出来. 在文献[6-10]给出了将变系数化为我们熟知的常系数来求解, 这个方法最基本的就是保证的线性不变性. 另外, 在保证线性不变性的条件下是如何选择适当的变量变换将其化为我们熟悉的常系数方程.在文献[11][12]中，讲解了用降阶法将方程转化为一阶的求解问题, 这样我们可以用通常所学的一阶方程求解了. 最后, 在文献[13][16]中，讲解了用幂级数来解. 我们知道一个多项式或数均可以用级数的形式表示出来，幂级数解法就是根据这一原理. 但是, 所求的解往往是无穷级数, 这对我们研究问题以及分析问题是很不方便的:源^自'优尔;文,论|文{网[www.youerw.com. 所以, 在可以用其它方法的时候, 我们尽量不用幂级数解法.

本文针对上述情形不仅做了有效的归纳总结还创建了新的求解方法, 对相关题目进行分析后, 并综合具体实例及应用, 给出了具体且实用的求解方法, 并给出了大量的具体实例.对于二阶变系数微分方程，我们可以根据具体情况选用不同的方法求解.

1. 常微分方程的基本概念二阶变系数齐次常微分方程的求解问题:http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_51162.html