引理1 设      实数，那么

  可以找到一个大于或等于零的整数 ，使得 ，

（   的 位不足近似， 代表的是 的 位过剩近似．）

引理2 设 ，那么仅当 有上（下）确界的时候，非空数集 有上（下）确界．

证　必要性：设 ，下证 ．

  ， ，使 ．又因 ，故 ；

 由 知， ，使 ，从而 ，使 

综合 ， ，可知 ．

充分性：设 ，根据  上面的必要性的证明知，

确界原理：设非空的数集 是有上（下）界的，那么我们可以得到 是一定有上（下）确界的．

证明：现在我们只给出有下确界的情况的证明，据此可以类似给出有上确界的证明．