例1 求解方程 .

解 由于 ，故该方程不是全微分方程.再观察方程的左边，容易得出

在方程两边同乘以 ，得 就是全微分方程了，故 是该方程的积分因子.

利用观察法求积分因子，首先要观察方程是否能乘以某个常见的式子可以变为全微分方程，如果可以，这个式子就是该方程的积分因子.

例2 求解方程 .

解 首先，使分母有理化，方程变为 ，

再把方程变为观察得出方程左边的前一部分为 的全微分，故可乘微分函数 后仍然是二元函数的全微分方程.又因为方程左边的后一部分形式为 ，因而取 ，于是方程变为

那么方程的通解是

如果不能迅速观察出常微分方程的积分因子，我们可以对方程进行重新调整，若其中一部分是二元函数 的全微分方程，则方程可能有形如 的积分因子.( 为可微函数)

例3 求解方程 .

解 重新组合改写为

方程左边的第一部分是 的全微分.因此，设该方程的积分因子通式是 ，我们希望它也是后一部分的积分因子，则应满足充要条件 

又知 所以则求得以 乘原方程，得得通解为        .

利用观察法得出常微分方程的积分因子，一般地，常见的常微分方程的积分因子有 ， ， .

3.2  公式法

定理3[3] 方程 具有形如 的积分因子的充分必要条件是