摘  要：微分中值定理在极限求解中有着重要的地位，尤其是拉格朗日中值定理和泰勒中值定理在求极限中有着不可或缺的作用. 本文重点讨论了这两个定理在求极限中的推广，并举例说明.

毕业论文关键词：微分中值定理，拉格朗日中值定理，泰勒中值定理，极限 59189

Abstract: Differential mean value theorems, especially Lagrange’s mean value theorem and Taylor’s mean value theorem, are extremely significant in the application of limit operation. In the article, we focus on discussing the extensions about the two theorems. Moreover, we give out some examples of their application.

Keyword: differential mean value theorem, Lagrange’s mean value theorem, Taylor’s mean value theorem, limit

1 引言及预备知识4

1.1 引言4

1.2 预备知识4

1.2.1 拉格朗日中值定理4

1.2.2泰勒中值定理4

2 定理及证明4

2.1 拉格朗日中值定理在求极限中的推广4

2.2 泰勒中值定理在求极限中的推广6

3 例题9

例19

例29

例39

结论11

参考文献13

致谢14

1 引言及预备知识

1.1 引言

 微分中值定理一般包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理与泰勒中值定理，微分中值定理的运用十分广泛，它架起了函数与导数关系的桥梁，为相关证明与计算提供了理论依据. 本文将主要讨论拉格朗日中值定理与泰勒中值定理在求极限中的一些应用.

1.2 预备知识

1.2.1拉格朗日(Lagrange)中值定理   若函数 满足如下条件：   

    (i)在闭区间 上连续；

(ii)在开区间 内可导，

则在 内至少存在一点 ，使得 .

1.2.2 泰勒(Taylor)中值定理   设函数 在 的某邻域内具有直到 阶导数，则对此邻域中的每一点 ，可表示为

其中， 称为拉格朗日型余项. 上式也称为 在点 处带拉格朗日型余项的 阶泰勒公式. 有时泰勒公式可以写成

称为 在点 处带皮亚诺型余项的 阶泰勒公式.

当 时，得到的泰勒公式也叫麦克劳林公式.（注：在求极限中，一般运用带皮亚诺型余项的 阶泰勒公式）.

2 定理及证明源[自*优尔^`论\文"网·www.youerw.com/

2.1 拉格朗日中值定理的推广

定理1 形如 的极限，若函数 满足如下条件：

    (i)在包含 的闭区间 上连续；

    (ii)在包含 的开区间 内有连续导数；

    (iii)对于任意 ，有 ， ， 与 在闭区间 上连续，且 ，则  

证明  由Lagrange中值定理，有

 ，其中 介于 与 之间.

    由 的连续性，有  定理2  形如 的极限，若函数 ， 满足如下条件：

    (i)在包含 的闭区间 上连续；

    (ii)在包含 的开区间 内有连续导数，且 ；

(iii)对于任意 ，有 ， ， 与 在闭区间 上连续，且 ，则