带有绝对值函数的可导性与可积性研究

对函数的求导和求积分的问题，一直以来都极为重要，它是解决其他很多数学问题的重要基础，其方法和相关定理数不胜数。但含绝对值的函数与一般函数不同，它具有分段的特征，其导数的求法不能按照一般的导数求法进行，其积分的性质也与一般的积分性质发生了很大的改变。本文主要对含有绝对值的函数求导问题及其定积分与不定积分的求法和相关定理进行分析和总结，并结合 Matlab软件进行实例编程，数形结合，验证相关算法的有效性以及相关定理的适用性，帮助理解和分析。 59581
毕业论文关键词: 导数积分绝对值分段函数 Matlab
Title Research on the absolute value function of its differentiability and integrability
Abstract Derivation of function and the quadrature problem, has been extremely important, it is the important basis to solve many other problems, the method and the related theorem beyond count. But the function with the absolute value of the different and the different function, it has the sectional characteristics, its derivative method is not in accordance with the general derivation method, properties of the integral and integral properties of half changed. This paper focuses on the function derivation problem with absolute value and the definite integral and method for indefinite integral and related theorems are analyzed and summarized, and combined with Matlab programming examples, the combination of number and shape, verify the validity of the proposed algorithm is effective and the related theorem, help us understand and analysis.
Keywords derivative, integral, absolute value, piecewise function, Matlab

1．引言....1

1.1研究背景...1

1.2研究历史及现状.2

1.3本文拟解决的问题及方法3

2.绝对值函数的求导方法...3

2.1将含有绝对值的函数求导数转化为分段函数求导数.4

2.2用去绝对值化为无理函数求导4

2.3利用推导公式求导..5

3.导数的计算及应用实例分析8

4.绝对值函数的积分....11

4.1不定积分与定积分11

4.2含绝对值函数的积分.12

4.3含绝对值函数的可积性探讨...15

4.4数值试验...17

结论....20

致谢.21

参考文献....22

1．引言函数的求导和求积分的问题，一直以来都极为重要，它是解决其他很多数学问题的重要基础，其方法和相关定理数不胜数。但含绝对值的函数与一般函数不同，它具有分段的特征，其导数的求法不能按照一般的导数求法进行，其积分的性质也与一般的积分性质发生了很大的改变。
1.1研究背景带绝对值的函数作为分段函数的一个典型代表，其可导性和可积性与原来的函数有密切关系。一般而言，带有绝对值的函数可分为) (x f与) ( ) ( x f x g两大类。他们的可导性与可积性都与其原函数有着莫大的关系。在高等数学中，导数和积分是微积分中的重要概念，是进一步学习数学和其他自然科学的基础，是现代科学技术研究必不可少的工具。函数) (x f的绝对值 . 0 ) (, 0 ) (, 0 ) (), (, 0), (| ) ( |x fx fx fx fx fx f 称为) (x f的绝对值函数，而使0 ) (  x f的点称为曲线) (x f的尖点。例如：函数1 ) (2  x x f，其函数图象及绝对值函数) (x f的图像如下图 1.1所示：从图 1.1中可以看出点) 0 , 1 (和点) 0 , 1 (是) (x f的两个尖点。
1.2研究历史及现状大约在1629年，法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法；1637年左右，他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。在作切线时，他构造了差分) ( ) ( A f E A f  ,发现的因子E就是我们现在所说的导数) ( ' x f，这就揭开了函数导数的研究序幕。17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，在前人创造性研究的基础上，大数学家牛顿、莱布尼茨等从不同的角度开始系统地研究微积分。牛顿的微积分理论被称为“流数术”，他称变量为流量，源]自{优尔·~论\文}网·www.youerw.com/ 称变量的变化率为流数，相当于我们所说的导数。牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷级数》，流数理论的实质概括为：他的重点在于一个变量的函数而不在于多变量的方程；在于自变量的变化与函数的变化的比的构成；最在于决定这个比当变化趋于零时的极限。1823年，柯西在他的《无穷小分析概论》中定义导数：如果函数) (x f y 在变量x的两个给定的界限之间保持连续，并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间的值，那么是使变量得到一个无穷小增量。19世纪60年代以后，魏尔斯特拉斯创造了  -语言，对微积分中出现的各种类型的极限重加表达，导数的定义也就获得了今天常见的形式： xx f x x ffx    ) ( ) (lim '0 一般函数的导数，从概念上来计算，需要计算xx f x x fx    ) ( ) (lim0，或者按部就班，用四则运算来求解；而计算绝对值函数的导数时，由于其分段的特殊性质，传统方法是先将函数依分界点划为分段函数，分别求导，而对于分界点处的导数，则由导数的定义，分别求解该点处的左、右导数得出。十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题；第二类问题是求曲线的切线的问题；第三类问题是求函数的最大值和最小值问题；第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。带有绝对值函数的可导性与可积性研究:http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_64843.html