例如 对连续函数空间 ,若 可定义三种常用范数如下:

    (1)  ,称为 范数,

(2)  ,称为1-范数,

(3)  ,称为2-范数.

定义2 设 是有限或无限区间,在 上的非负函数 满足条件:

(1)  存在且为有限值 ,

(2) 对 上的非负连续函数 ,如果 ,则 .则称 为 上的一个权函数.[1]

对于给定 及 中的一个子集 ,若存在 ,使 ,     (2.1) 

则称 是 在子集 中的最佳平方逼近函数.[1]

证明最佳平方逼近函数 的存在性,唯一性及计算方法与误差.

证 (1) 存在性,唯一性

对 ,原问题转化为求 ,使 ,

即求 的系数 ,

这是关于 的线性方程组,称为法方程组,记为 ,因 ,线性无关,故法方程组系数行列式  ,法方程组有唯一解 ,使得

         .                    (2.3)

(2) 证法方程组确定的 是 在集合 上的最佳平方逼近函数.

即证 ,有 .

即求证下面的不等式成立

  成立 对于上式已知 ,

并且 因为 ,所以 .

所以上述的不等式证明成立,即通过法方程组求得 是最佳平方逼近函数,

令 ,最佳平方逼近的误差为

2.2 正交多项式作最佳平方逼近

定理3 若 为 上的权函数且满足 

 ,则称 与 在 上带权 正交.若函数族 满足关系

则称 是 上带权 的正交函数族；若 ,则称为标准正交函数族.[1]

定理4 设 是 上首项系数 的 次多项式， 为 上的权函数.如果多项式序列 满足关系式 ，则称多项式序列 为在 上的带权 正交，称 为 上带权 的 次正交多项式.[1]