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二阶变系数齐次常微分方程的解法及其应用(2)

时间:2021-03-14 22:21来源:毕业论文
就是方程(1)的通解,其中 是两个任意常数. 通常称定理1是方程(1)的基本定理. 由定理1可知,欲求(2)的通解,关键是求方程(2)的两个线性无关的

就是方程(1)的通解,其中 是两个任意常数.

     通常称定理1是方程(1)的基本定理.     

     由定理1可知,欲求(2)的通解,关键是求方程(2)的两个线性无关的特解.根据求导经验,指数函数 ( 为常数)的各阶导数是同类型的函数,仅相差一个常数因子.由此我们用 来尝试,看能否选取适当的常数 ,使 满足方程(2).

对 求导可得 , .

那么这样,(2)式可以转化为 .

因为 ,所以有    (3)源[自[优尔``论`文]网·www.youerw.com/

若 是方程(3)的一个解,则 必是方程(2)的一个解. 因此我们很容易得到方程(2)的通解.

方程(1)与方程(2)结构类似,不同的是方程(1)是变系数,方程(2)是常系数,而常系数是变系数的特例.按照类比的方法,我们猜想方程(1)具有特解  ,此时就应找出 应该满足的条件.

将 , , 代入方程(1),得:  (4)

 对已知的 和 ,如果存在常数 恒有(4)式成立,则方程(1)必有特解 .接下来是找方程(1)的与 线性无关的是另一特解 ,于是我们想到常数变易法.

设 是方程(1)的特解,且 常数 则 

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