摘要：结合举例，系统地阐述并总结了借由介值定理、根的存在性定理及其逆反命题在判断方程根的存在性、解不等式、证明等式以及实际问题时的一般解决思路及应用方法．64735

毕业论文关键词：介值定理，根的存在定理，应用

Abstract：With examples, the author summarizes the general solution and application methods systematically borrowed by the intermediate value theorem, the existence theorem of root and its converse proposition in judging the existence of the equation root, inequality, prove equation and the actual problem．

Keywords：intermediate value theorem,the existence theorem of root,application 

1 引言 4

2 介值定理的内容 4

3 利用介值定理判断方程根的存在性 4

4 介值定理在解不等式中的应用 6

5 介值定理在证明等式中的应用 8

6 介值定理在实际问题中的应用 10

结论 13

参考文献 14

致　谢 15

1 引言

介值定理，又被叫做中间值定理。介值定理是在闭区间上的连续函数的重要性质之一，一般来说学者大多通过有关实数完备性定理中的确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理来证明这一定理．在这里，“介值定理”的几种证明方法本文将不再过多地进行赘述．而由于通过介值定理学者能够十分有技巧性且十分有效地解决许多问题，所以“介值定理”在各方面的应用都十分广泛．比方说我们可以借由“介值定理”来证明“根的存在性”、证明一些等式、不等式以及解决实际问题等．

介值定理被广泛地应用于连续函数的证明中．比如判断方程的根是否存在的问题、求解不等式的问题、以及证明一些等式和解决现实中的一些实际问题等．

2 介值定理的内容论文网

定理[1]  设函数 在闭区间 上连续，且 ；设 为介于 与 之间的任何实数（ 或 ）,则至少存在一点 ,使得

 ．

此定理说明，假如函数 在区间 上是连续的，这里我们不妨设 ，那么函数 在区间 上一定可以取得区间 上的所有值，故而有

 ．

推论（根的存在定理） 若函数 在闭区间 上连续，且 与 异号（即 ），则至少存在一点 ，使得

 ．

也就是说方程 在 内最少会有一个解．根的存在定理也被叫作零点定理．在下文的例题的求证中，我们将会多次利用根的存在定理（亦作零点定理）以证实例题中的结论，而且介值定理我们也还会通过根的存在定理来证实．

3 利用介值定理判断方程根的存在性

在证明一些方程解的存在性时，我们通常不能选用先求解，求解后再说明方程的解存在的办法．首先如果没有给出详细的方程，求解对我们来说通常并不容易，甚至十分困难．其次就算把方程告诉了我们，假设方程格外繁杂，那么根的存在性证明也十分困难．而如果我们利用介值定理或推论（根的存在定理）就能很轻易地得出存在使函数值为零的点，也就是能够得到存在使方程成立的方程解的结论．在判断方程根的存在性上的题目我们通常会运用介值定理正式因为如果利用介值定理我们就可以清晰地判断出根的存在情况．

例1[3] 证明方程  至少有一个正根，且不超过 ．

证明　设   ，由已知可得： 介值性及其应用:http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_72041.html