设 为曲线 上的任一点，则根据能量守恒定理可得下面的关系

该式子中， 是重力加速度，故有

还有一方面，质点的运动速度还可以表示成

根据上面的两个式子消去 并且进行积分，得到质点沿着曲线从A点滑向B点所用时间为

       =                             

显然时间 是依赖于 的图像的， 去不同的函数，那么 就会有不同的数值与其相对应。这样，文献综述简而言之捷线问题在数学上就转化为在满足条件（2.1.2）的所有函数（2.1.1）中，求使得积分（2.1.6）取到最小值的函数。这个问题已经被伯努利兄弟等人解决，但这种问题的一般解法直到后来才有欧拉和拉格朗日创立。

例2．短路程问题。这个问题是约翰·伯努利在1697年率先提出。其提法为：在光滑的曲面 上给定点 和  (见图2)，在这个曲面上求连接这两点的一条最短的曲线C。类似于这样，在曲面上两点之间长度最短的曲线就称为短程线或者测地线。

解  设这条曲线的方程为

式子中 为连续可微的函数，因为曲线在曲面 上，所以 和 应该满足约束条件

根据高等数学可知，曲线（1）的长度为

这样一来，短路程问题即可归纳为在满足条件（2.2.2）的情况下，寻求过A，B两点的方程（2.2.1），使得积分（2.2.3）取得最小值。短程线的变分问题也被人称作条件极值问题。

例3.等周问题。在平面上给定长度L的并且所有不相交的光滑封闭曲线中，求一条能围成最大面积的曲线。