摘 要:Erdos, Graham, Spencer 提出研究满足下列性质的最小实数 :对任意正整数序列 , 若 且 , 则这一和式一定可以分成 部分,使得每一部分都 。 目前国际上研究的最佳结果为 。在本文中,我们证明 。 74373
毕业论文关键词:Erdos- Graham- Spencer猜想, 倒数和,分划
Abstract: Erdos, Graham, Spencer asked the following question on the least real number such that: for any positive integers with and this sum can be decomposed into n parts so that all partial sums are 。 The best result on the problem in the world at present was 。 The primary result of this thesis was 。
Keywords: Erdos- Graham- Spencer conjecture, reciprocal sum, partition。
目 录
1 引言4
2 文献综述4
2。1 EGS问题研究历程5
3 一些引理6
4 算法和主要结果8
4。1 算法8
4。2 待检验序列集分解9
4。3 主要结果9
4。3。1 的计算9
参考文献12
1 引言
1980年, 匈牙利数学家、沃尔夫奖得主Erdos P提出了下列问题: ([2], p。 41) 对任意正整数序列 , 若 , 是否一定可以将这一序列分成 部分,使得每一部分倒数和都 ? Sandor C很快给出了否定回答。 但这一问题开始了组合数论中一类新问题的研究。 此类问题中一个关键猜想是由Erdos, Graham, Spencer提出的,因此我们称之为Erdos-Graham-Spencer问题,简称为EGS问题。
定义1。1 在本文中,我们称满足下列性质的最小实数 为EGS常数:对任意正整数序列 , 若 且 , 则一定可以将这一序列分成 部分,使得每一部分倒数和都 。
Sandor C证明EGS常数对任意 都存在,并给出了上下界[3]。
定理1。1 , 。
这一上界是比较大的。 目前国际上的最佳结果为(参见[1][4][5]):
定理1。2 , 。
在本文中,我们证明:
定理1。3 。
本文是这样组织的: 在第2节中我们对研究背景和相关文献做了一个综述,在第3节中给出了需要用的的一些引理,在第4节中给出了主要结果。
在本文中,为方便起见, 我们提到的所有序列均为有限个元素的正整数序列, 且假设 。文献综述
2 文献综述
2。1 EGS问题研究历程
1980年, 匈牙利数学家、沃尔夫奖得主Erdos P提出了下列问题: ([2], p。 41) 对任意正整数序列 , 若 , 是否一定可以将这一序列分成 部分,使得每一部分倒数和都 ?
Sandor C对 的情形给出了反例, 从而对这一问题作出了否定回答。
例2。1。1 120除1,120以外的所有正因子: 2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60。 以上整数的倒数和为 , 但对这一序列的任一分划,都至少有一部分倒数和>1。
对一般的 , Sandor C证明反例总是存在的[3] 。
定理2。1 对任意的 , 都存在正整数序列 满足 , 但将这一序列分成 部分,都至少有一部分倒数和>1。
这一定理同时也说明EGS常数 , 。在[3]中, Sandor C也证明了EGS常数 对 总存在,并给出了上界。事实上,他对实数序列证明了下述定理。
定理2。2 令 , 对任意的全体大于1的正实数序列 , 如其满足 , 则一定可将这一序列分成 部分,使每一部分倒数和都 。
当序列限制在正整数序列时, Sandor C证明了更强的上界。
定理2。3 令 , 对任意的实数序列 ,满足 , 则一定可将这一序列分成 部分,使每一部分倒数和都 。 EGS常数的计算和文献综述:http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_84958.html