摘要: 不等式证明是数学研究中的一个重要研究对象, 它的证明方法具很强的技巧性和综合性。  本文重点讨论运用高等数学中的微积分在证明不等式中的应用。 

毕业论文关键词: 微分;  积分;  不等式  74851

Abstract : The Proof of Inequalities is an important object of study during mathematics,  It's certification methods with strong skills and comprehensive。  In this paper,  focusing on discussing higher mathematics to prove inequality with the use of calculus。 

Keywords: Differential;  Integration;  Inequality

目　录

引言 4

1微分在证明不等式中的应用 4

1。 1 利用可导函数的单调性 4

1。 2 利用微分中值定理 6

1。 3 利用Taylor公式 8

1。 4 利用函数的极值与最值 10

1。 5 利用函数的凹凸性 12

2。  积分在证明不等式中的应用 13

2。 1利用积分性质 13

2。 2 利用积分中值定理 14

2。 3 利用变限积分函数 15

2。 4 利用Schwartz不等式 17

结论 18

参考文献 19

致谢 20

引言

不等式是数学研究以及学习中的重要内容之一, 它的证明在数学中起着重要作用, 有着不可替代的地位。 由于有些不等式本身较为抽象, 逻辑性较强, 故而其证明非常灵活, 证明方法多种多样。 方法因题而变, 无固定模式, 技巧性强。 论文网

运用初等数学中的一些知识能够证明一些基本的不等式, 然而在高等数学中, 我们就需要借助高等数学的知识——微积分就是一种实用的证明不等式的方法, 因而微积分思想在不等式的证明中得到了充分体现。 

证明不等式的方法主要是根据不等式的性质和已知的恒等式进行合乎逻辑的等价变化, 我们常用的两种基本方法——比较法和公式法, 在学科教学2010年02期上, 季泉先生就发表过一篇有关的文章《不等式证明的几种常见的方法》, 再譬如2011年06期的试题研究, 曾令福先生发表的《不等式证明的常用方法》上也谈到这类问题。 

比较法是最简单明了的证明不等式的方法, 为了进一步研究不等式的证明, 我们又引入了另一种方法——公式法, 即利用常用的不等式来证明, 常用的不等式有:算术平均和几何平均不等式 、Bernoulli不等式 、Cauchy不等式 、排序不等式 等。  在应用中, 当我们在利用公式法来证明不等式的时候, 必须注意这些重要不等式所需要的条件, 以及有时需要进行适当的处理, 例如变形等, 来凑成重要不等式。 

除了已经介绍的两种方法外, 还有其他一些方法（如:换元法 、构造法 、放缩法 、数学归纳法 等）也能够解决初等数学中的多数不等式的证明, 但对于一些不等式的证明, 单靠初等方法是不够的。 因此, 我们就需要用到高等数学中的知识——微积分来进一步进行不等式的研究。 下面就来讨论微积分在证明不等式中的应用。 

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