在数学竞赛中，不等式是必不可少的一个环节，学习它，并且用相关知识技巧解决攻克它，有利于培养对数学的热爱与探索求知精神。在攻克一道道应用不等式解决的数学难题中，学习者对解决数学难题的自信在不知不觉中建立起来。在熟练掌握某些不等式（如基本不等式，，均值不等式，绝对值不等式，柯西不等式，琴森不等式……）的基础上，将他们运用到解题中，这是知识掌握向知识运用的转变，这是基础知识向基本技能的转变，是一次次自信心的提升。不断激发着学习者对数学的热爱，对知识的渴求。论文网

二、不等式的证明方法

1、柯西不等式

    柯西不等式形式美观，结构对称，记忆起来也十分方便。它是由著名大数学家柯西所归纳整理总结出来，后由另外两名数学家布尼亚科夫斯基和施瓦茨推而广之，才使这一不等式近乎完美的呈现在我们眼前。而在高中数学教科书选修系列《不等式选讲》里，已将柯西不等式作为其中的重点之一加入到日常的教学中。当然，也不知不觉的在各类数学竞赛中出现的频率不断提高。它是研究解决不等式的重要工具与桥梁。很多不等式表面上看上去与柯西不等式联系不大甚至毫无关系，但是往往可以通过对不等式进行适当的变形转化,合理地构造出两组数，使这两组数分别充当公式里a1，a2，……，an和b1，b2，……， bn的角色，巧妙解决该不等式。当然，变形转化有太多方向，如何将之朝着有利于解题的方向变形转化是解题的难点，也是关键。需要解题者对公式十分熟悉，并加上自己的观察，分析，推理甚至猜测，要善于打破思维的惯性，拓宽解题思路，十分考验解题者的能力。下面选取了几道在竞赛中出现过的例题和可能出现的例题，对柯西不等式进行进一步的研究应用，使证明过程变得简明清晰。

二维形式：

 ，

当且仅当 时，等号成立。

一般形式： 

 当且仅当 （k为常数）时，等号成立。

1。1 柯西不等式

例1  (2002年越南奥林匹克试题)设x, y, z是实数,且x2+ y2+ z2= 9,证明不等式:2(x+ y+ z)- xyz≤ 10。

【分析与思考】本题含有三个未知数，看已知可能想到三维的柯西不等式，但细细分析后可以将之与二维的柯西不等式相联系。已知三个平方项的和，而要证明的不等式不含平方项，所以第一步将不等式左边乘方展开，再构造出柯西不等式进行转化，最终转化到与已知相联系的形式。

证明　不妨设x2≥ y2≥ z2,因为x2+ y2+ z2= 9，所以x2≥ 3,6≥ y2+ z2≥ 2yz。利用柯西不等式得

 (2(x+ y+ z)- xyz)2

= (2(y+ z)+ x (2- yz))2

≤ ((y+ z)2+ x2)(22+(2- yz)2)

= (2yz+ 9) (y2z2- 4yz+ 8)。

令a= yz,只要证明(2a+ 9)(a2- 4a+ 8)≤102即可,而(2a+ 9)(a2- 4a+ 8)-100= 2a3+ a2- 20a- 28=-(a+ 2)2(7- 2a)。因为a=x y≤3，所以(2a+ 9)(a2- 4a+ 8)-100≤0，所以原不等式成立。

当且仅当a= - 2，并且(y+ z)×(2- yz)=2 x时，等号成立。即yz= - 2,并且x2= 4(y+ z)2= 4(y2+z2+ 2yz)= 4(9- x2- 4)= 20- 4x2,得到x2= 4,y+ z= ± 1,yz= - 2。而x2≥ y2≥ z2,可得x= 2,y=2,z= - 1。

例2  设实数x，y满足 ，求 的最大值。文献综述

【分析与思考】这是一道典型的应用柯 西不等式解题的题目。主要运用到 这一公式。关键是根据题意将系数4和5进行分解，凑出公式中的a,b,c,d。本题在高考题中也有可能出现。

证明   ，即 ，由柯西不等式得

当且仅当 并且4x2+5y2 =8时取到等号。解之得 ， 时，原不等式等号成立。 柯西不等式在数学竞赛中的应用(2):http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_86123.html