所以 有最大值 。

例3　(1983年法国奥林匹克数学竞赛)设a,b,c分别为一个三角形的三边长,证明 　,并指出等号成立的条件。

【分析与思考】 a，b，c为三角形三边，可知a> 0,b> 0,c> 0，此题先巧妙地用了换元法，使不等式看起来更加工整美观，将原不等式进行取值代换，然后再利用了柯西不等式加以证明。

证明　设 , ,  , ,转化后代入原不等式，则原不等式转化为

 。

只需要证当x> 0,y> 0,z> 0时,上式成立。 

应用柯西不等式三维形式,有

当且仅当 时,不等式取到等号。即 时,此时 ，这个三角形为等边三角形,原不等式等号成立。

例4  已知    求证：

【解析与思考】把要证明的不等式与已知条件相联系起来，很容易想到柯西不等式。

 当且仅当bi=kai取“=”。来*自~优|尔^论:文+网www.youerw.com +QQ752018766*

证明  因为

由柯西公式得 

=1×1=1所以

1。2 柯西不等式与几何

1。2。1 在平面几何中的应用

例5  (2015 年上海市高中数学竞赛) 如图1, 已知△ABC 的面积为 1。过 △ABC 内一点 O 分别引三条边的平行线 DE, FG, HI点 D, E, F,G, H, I 均在 △ABC 的边上, 求六边形 DGHEFI 的面积的最小值。 

【分析与思考】数学需要大胆猜测，小心验证，求六边形面积的最小值，那么点o的位置一定是在三角形内特殊的位置，也可以说平行线与三边的交点是特殊位置，这一点可以作为对结论的一个检验方式。要求的是六边形的面积，不妨从面积法入手，利用柯西不等式证明平行线与三边的交点位置的特殊性。